Geometrijska progresija. Primjer s otopinom

Smatramo određenu seriju.

7 28 112 448 1792 ...

Jasno je da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je progresija.

Geometrijska naprednost je beskonačna sekvenca brojeva, čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog, umnožavanjem određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

_z+1= a_zmiddot-q, gdje je z broj odabrane stavke.

Prema tome, z isin- N.

Razdoblje u kojem se geometrijska progresija proučava u školi je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da razumijete koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 2 ...

Polazeći od ove formule, nazivnik progresije može se naći na sljedeći način:

Ni q ni b_z ne može biti nula. Također, svaki od elemenata broj serija napredovanje ne smije biti nula.

Prema tome, da bismo pronašli sljedeći broj serija, moramo pomnožiti zadnji s q.

Da biste odredili taj napredak, morate odrediti svoj prvi element i nazivnik. Nakon toga, moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov iznos.

vrsta

Ovisno o q i a₁ ta je progresija podijeljena u nekoliko tipova:

• Ako a₁, i q je veći od jednog, tada je takav slijed geometrijska napredovanja koja se povećava sa svakim sljedećim elementom. Primjer toga je prikazan u nastavku.

Primjer: a₁= 3, q ​​= 2 - oba parametra su veća od jednog.

Tada se numerički slijed može napisati kao:

3 6 12 24 48 ...

• Ako | q | manje od jednog, tj. razmnožavanje po njoj je ekvivalentno podjeli, a progresija sa sličnim uvjetima je smanjenje geometrijske napredovanja. Primjer toga je prikazan u nastavku.

Primjer: a₁= 6, q = 1/3 - a₁ više od jednog, q - manje.

Tada se numerički slijed može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - svaki element je veći od elementa koji slijedi, 3 puta.

• Naizmjenično. Ako q<0, tada znakovi rednih brojeva stalno se izmjenjuju bez obzira na₁, i elementi se ne povećavaju niti smanjuju.

Primjer: a₁ = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se numerički slijed može napisati kao:

-3, 6, 12, 24, ...

formula

Za praktičnu upotrebu geometrijskih progresija postoje mnoge formule:

• Formula z termina. Omogućuje izračunavanje elementa koji je pod određenim brojem bez izračuna prethodnih brojeva.

primjer: q = 3, ₁ = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

rješenje: ₄ = 4 middot- 3^4-1= 4 middot-3³ = 4 middot- 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čiji je brojz. Omogućuje vam da prethodno izračunate zbir svih elemenata slijeda _z inclusive.

Budući da (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q) ne-0, dakle, q nije jednak 1.

Napomena: ako je q = 1, progresija bi bila niz beskonačno ponavljanih brojeva.

Zbroj geometrijske napredovanja, primjeri: ₁ = 2, q = -2. Izračunaj S₅.

rješenje: S₅ = 22 - izračun po formuli.

• Zbroj, ako |q| | < 1 i ako z teži beskonačnosti.

primjer: ₁ = 2_, q = 0,5. Pronađi zbroj.

rješenje: S_z = 2middot- = 4

Ako računajući zbroj nekoliko članova ručno, možete vidjeti da je doista četiri.

S_z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Neka svojstva:

• Karakteristična svojstva. Ako je sljedeći uvjetse izvodi za bilo koji z, tada je dani numerički niz geometrijska progresija:

_z²= _z-1middot- _{z + 1}

• Slično tome, kvadrat bilo kojeg broja geometrijskog progresije pronađen je dodavanjem kvadrata dvaju drugih brojeva u određenoj seriji ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

_z² = _z-t² + _z+t², gdje t - udaljenost između tih brojeva.

• elementi razlikuju se u q vrijeme.
• Logaritmi elemenata progresije također stvaraju progresiju, ali već su aritmetički, tj. Svaki od njih veći od prethodnog određenog broja.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da bismo bolje razumjeli što je geometrijska progresija, primjeri s rješenjem za klasu 9 mogu pomoći.

• Pravila i uvjeti: ₁ = 3, ₃ = 48. Pronađi q.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog qvrijeme. Potrebno je neke elemente izraziti drugima pomoću nazivnika.

dakle, ₃ = q²middot-₁

Prilikom zamjene q=4

• Pravila i uvjeti: ₂ = 6, ₃ = 12. Izračunaj S₆.

rješenje: Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti je u formuli.

₃ = qmiddot-₂, dakle, q = 2

₂ = qmiddot-₁, stoga₁ = 3

S₆ = 189

• middot- ₁ = 10, q = -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno izraziti četvrti element preko prvog i preko nazivnika.

₄ = q³middot-₁ = -80

Primjer primjene:

• Klijent banke je dao doprinos u iznosu od 10.000 rubalja, pod uvjetom da svake godine klijentu na iznos glavnice će se dodati 6%. Koliko novca će biti na računu u 4 godine?

Odluka: Početni iznos iznosi 10 tisuća rubalja. Stoga, godinu dana nakon polaganja, bit će iznosa od 10.000 + 10.000middot-0,06 = 10000 middot- 1.06

Sukladno tome, iznos na računu u drugoj godini izražavat će se kako slijedi:

(10.000 middot- 1.06) middot- 0,06 + 10,000 middot- 1,06 = 1,06 middot- 1.06 middot-10000

To jest, svake godine se povećava za 1,06 puta. Dakle, kako bi pronašli broj računa nakon 4 godine, dovoljno je naći Četvrti element napredovanje, koja se dodjeljuje prvi element koji je jednak 10 tisuća, a nazivnik jednak 1.06.

S = 1,06middot-1,06middot-1,06middot-1,06middot-10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračun zbroja:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer naloga može se odrediti na sljedeći način:

₁ = 4, q = 2, izračunajte S₅.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formuli.

S₅= 124

• ₂ = 6, ₃ = 18. Izračunajte zbroj prvih šest elemenata.

rješenje:

U geomu. napredovanje, svaki sljedeći element je veći od prethodnog u q puta, to jest, za izračunavanje zbroja, potrebno je poznavati element ₁ i nazivnika q.

₂middot-q = ₃

q = 3

Slično tome, potrebno je pronaći ₁, poznavanje ₂ i q.

₁middot-q = ₂

₁ = 2

I dovoljno daleko da zamjenjuju poznate podatke u formuli zbroja.

S₆= 728.