Serija Maclaurin i raspad određenih funkcija

Student veće matematike treba znati da je zbroj serije snage koja pripada intervalu konvergencije određene serije je diferencirana funkcija koja je kontinuirana i beskonačno mnogo puta. Postavlja se pitanje: je li moguće tvrditi da je određena proizvoljna funkcija f (x) zbroj serije snage? To jest, pod kojim uvjetima se f-th f (x) može prikazati serije snage? Važnost takvog pitanja je da je moguće zamijeniti f (x) zbrojem nekoliko prvih pojmova serije snage, to jest polinoma. Takva zamjena funkcije jednostavnim izrazom - polinomom - također je prikladna za rješavanje određenih problema matematička analiza,

Dokazano je da je za neku f-funkciju f (x) u kojoj je moguće izračunati derivate do (n + 1) - red, uključujući i posljednje, u susjedstvu (alfa-- R x₀ + R) od neke točke x = alfa-fair je formula:

Ova formula nosi ime poznatog znanstvenika Brooke Taylor. Serija koja se dobiva od prethodnog naziva se serija Maclaurin:

Pravilo koje omogućuje razgradnju u seriju Maclaurin:

1. Odredite derivate prvog, drugog, trećeg ... naloga.
2. Izračunajte što su derivati ​​kod x = 0 jednaki.
3. Snimite seriju Maclaurin za određenu funkciju, a zatim odredite interval konvergencije.
4. Odredite interval (-R-R), gdje je ostatak formule Maclaurin

R_n(x) -> 0 kao n -> beskonačnost. U slučaju da postoji, funkcija f (x) u njemu mora se podudarati s zbrojem serije Maclaurin.

Sada razmotrimo seriju Maclaurin za pojedinačne funkcije.

1. Dakle, prvi je f (x) = e^x. Naravno, u smislu svojih singularnosti, takva funkcija ima derivate vrlo različitih narudžbi, i f^(K)(x) = e^x, gdje je k jednako sve prirodni brojevi. Zamjenjujemo x = 0. Dobivamo f^(K)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Slijedom iz prethodnog, serija e^xizgledat će ovako:

2. Serija Maclaurin za funkciju f (x) = sin x. Odmah ćemo pojasniti da φ-th za sve nepoznate će imati derivate, osim toga, f^`(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^„”(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(K)(x) = sin (x + k * n / 2), gdje je k jednak prirodnom broju. To jest, jednostavnim izračunima možemo doći do zaključka da će serija za f (x) = sin x biti u obliku:

3. Sada pokušavamo uzeti u obzir funkciju f (x) = cos x. Ima derivate proizvoljnog reda za sve nepoznate i | f^(K)(x) | = | cos (x + k * n / 2) |<= 1, k = 1,2 ... Ponovno, izrađujući određene izračune, dobivamo da će serija za f (x) = cos x izgledati ovako:

Dakle, naveli smo najvažnije funkcije koje se mogu raspasti u seriju Maclaurin, ali ih nadopunjuje Taylorov niz za neke funkcije. Sad ih navodimo. Također je napomenuto da su Taylor i Maclaurin serija važan dio radionice rješavanja serija u višoj matematici. Dakle, serija Taylor.

1. Prva je serija za funkciju f (x) = ln (1 + x). Kao u prethodnim primjerima, za određeni f (x) = ln (1 + x) možemo dodati seriju pomoću općeg oblika serije Maclaurin. Međutim, za ovu funkciju Maclaurinova serija može se dobiti puno jednostavnijom. Integrirajući neke geometrijske serije dobivamo niz za f (x) = ln (1 + x) takvog uzorka:

2. I druga, koja će biti konačna u našem radu, bit će seriju za f (x) = arctg x. Za x koji pripadaju intervalu [-1-1], proširenje vrijedi:

To je sve. U ovom članku su razmotrene najčešće korištene serije Taylora i Maclaurina u višoj matematici, osobito na ekonomskim i tehničkim sveučilištima.