Dijagonalna ravnina trapeza. Koja je prosječna linija trapeza. Vrste trapeza. Trapez je ..

Trapezoid je poseban slučaj četverokuta, u kojem je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapezoid" dolazi iz grčke riječi tau-rho-άpi-epsilon-zeta-alfa, što znači "stol", "stol". U ovom članku ćemo razmotriti tip trapeze i njegova svojstva. Osim toga, mi ćemo otkriti kako izračunati pojedinačne elemente toga geometrijska figura. Na primjer, dijagonalu jednodjelnog trapeza, srednje linije, površine itd. Materijal je opisan u stilu elementarne popularne geometrije, tj. U lako dostupnom obliku.

Opće informacije

Prvo, da vidimo kakav je četverokut. Ova je slika posebni slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrška. Dva vrška četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotni vrhovi. Isto se može reći io dvjema ne-susjednim stranama. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, trg, trapezoid i deloid.

Dakle, natrag do trapezoida. Kao što smo već rekli, ova slika ima dvije strane paralelne. Nazvane su bazama. Druga dva (nisu paralelna) su strane. U materijalima ispitivanja i raznim kontrolnim dokumentima vrlo je često moguće ispuniti zadatke povezane s trapezima, čije rješenje često zahtijeva da učenik ima znanja koja nisu predviđena programom. Školski smjer geometrije uvodi učenike na svojstva kutova i dijagonala, kao i na srednju liniju jednodijelnog trapeza. No, nakon svega, osim toga, spomenuta geometrijska figura ima i druge značajke. Ali o njima kasnije ...

Vrste trapeza

Postoje mnoge vrste ove figure. Međutim, dva od njih se obično smatraju jednolikom i pravokutnom.

1. Pravokutni trapezoid je lik u kojem je jedna od stranica okomita na baze. Ima dva kuta uvijek jednaka devedeset stupnjeva.

2. Isosceles trapezoid je geometrijska slika, u kojoj su strane jednake. Dakle, kutovi na podnožju su također jednaki u parovima.

Glavna načela tehnike proučavanja svojstava trapeza

Glavno načelo je korištenje takozvanog problema pristupa. Zapravo, nema potrebe uvesti nova svojstva ove figure u teorijsku geometriju. Može ih se otvoriti i formulirati u procesu rješavanja različitih problema (bolje sustave). Istodobno, vrlo je važno da učitelj zna što bi se zadaci trebali staviti pred učenike u jednom ili drugom trenutku obrazovnog procesa. Štoviše, svaki imetak trapezuma može se predstaviti kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izuzetnih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja pojedinim osobinama određene geometrijske figure. Dakle, učenicima je lakše zapamtiti. Na primjer, svojstvo od četiri točke. To se može dokazati i u proučavanju sličnosti i kasnije uz pomoć vektora. A jednakih trokuta susjedan strane slike, moguće je pokazati pomoću ne samo svojstva trokuta s jednakim visina provodi na stranama koje leže na ravnoj liniji, ali i pomoću formule S = 1/2 (ab * sinalpha-). Osim toga, moguće je i riješiti sinusni teorem na ispisanom trapezoidu ili desnom trokutu na opisanom trapezoidu, i tako dalje.

Primjena "izvan-programa" obilježja geometrijske figure u sadržaju školskog tečaja je orijentirana tehnologija za njihovo učenje. Stalno privlačenje proučavanih svojstava tijekom prolaska drugih tema omogućava studentima da bolje razumiju trapezoid i osiguravaju uspjeh rješavanja zadataka. Zato počnemo proučavati ovu nevjerojatnu figuru.

Elementi i svojstva jednolikog trapeza

Kao što smo već napomenuli, u ovoj geometrijskoj slici stranice su jednake. Poznat je i kao pravi trapezoid. I zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime? Posebnosti ove figure su da ne samo da su strane i uglovi baza jednaki, nego i dijagonalni. Osim toga, zbroj kutova jednodijelnog trapezoida je 360 ​​stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza, samo oko isosceles može opisati krug. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova na ovoj slici 180 stupnjeva, ali samo pod takvim uvjetima moguće je opisati krug oko četverokuta. Sljedeća svojstva geometrijske figure u pitanju su da udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrška prema liniji koja sadrži tu bazu biti jednaka sredini.

A sada ćemo shvatiti kako pronaći uglove jednog trapezoida. Razmotrite rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije strane slike.

Rješenje

Obično se kvadrilateral obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U ravničarskom trapeziju, strane su jednake. Pretpostavimo li da je njihova veličina jednaka X i Y dimenzije su baze i Z (manji i veći, redom). Za izračun kuta potrebno provesti u visini H. rezultat je pravokutan trokut ABN gdje AB - je dužina hipotenuze i BN i AN - noge. Izračunati veličinu noge AN: oduzimaju od veće baze minimalnom, a rezultat se dijeli s 2. objavu formule: (Z-Y) / 2 = F. A, izračunati oštri kut od korištenja trokut funkcija cos. Dobivamo sljedeći unos: cos (beta-) = X / F. Sada izračunajte kut: beta- = arcos (X / F). Nadalje, poznavajući jedan kutak, možemo definirati drugi, za to smo proizvesti osnovnu aritmetičku akciju: 180 - beta. Definirani su svi kutovi.

Postoji i drugo rješenje ovog problema. U početku spuštamo visinu H iz kuta B. Izračunavamo vrijednost BN katode. Znamo da je kvadrat hypotenuse desnog trokuta jednak zbroju kvadrata nogu. Dobivamo: BN = radikalno (X2-F2). Dalje koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat toga imamo: beta- = arctg (BN / F). Pronađen je akutni kut. Zatim definiramo tupi kut sličan prvoj metodi.

Svojstva dijagonala jednolikog trapeza

Najprije napišemo četiri pravila. Ako su dijagonale u jednodijelnom trapeziu okomite, tada:

- Visina likova bit će jednaka zbroju baza podijeljenih s dva;

- njegova visina i srednja linija su jednaki;

- trapezijsko područje jednaka je kvadratu visine (srednja crta, polovica zbroja baza);

- kvadrat dijagonale jednak je polovici kvadrata zbroja baze ili dvostrukom kvadratu sredine (visine).

Sada razmotrite formule koje određuju dijagonalu jednodjelnog trapeza. Ovaj se podatak može podijeliti u četiri dijela:

1. Formula za duljinu dijagonale na svim stranama.

Pretpostavimo da je A donja baza, B je vrh, C je jednaka strana, a D dijagonalna. U ovom slučaju duljina se može odrediti na sljedeći način:

D = radikalno (C2 + A * B).

2. Formula za duljinu dijagonale pomoću kosinskog teorema.

Pretpostavimo da je A donja baza, B je vrh, C je jednaka strana, D je dijagonalna, alfa (na dnu baze) i beta- (blizu gornje baze) - kutovi trapeza. Dobivamo sljedeće formule, pomoću kojih možemo izračunati duljinu dijagonale:

- D = radikalno (A2 + C2-2A * C * cosalpha-);

- D = radik (A2 + C2-2A * C * cosbeta-);

- D = radik- (V2 + S2-2 * S * cosbeta-);

- D = radikalno (B2 + C2-2B * C * cosalpha-).

3. Formula za duljinu dijagonala jednolikog trapeza.

Pretpostavimo da je A donja baza, B je vrh, D je dijagonalna, M je sredina, H je visina, P je trapezijsko područje, alfa i beta- su kutovi između dijagonala. Odredite duljinu sljedećih formula:

- D = radikal- (M2 + H2);

- D = radikalno (H2 + (A + B) 2/4);

- D = radikal- (H (A + B) / sinalfa-) = radikalno (2P / sinalfa-) = radikal- (2M * H / sinalfa-).

Za ovaj slučaj, jednakost sinalfa- = sinbeta-.

4. Dijagonalne duljinske formule kroz strane i visinu.

Pretpostavimo da je A donja baza, B je vrh, C je strana, D je dijagonalna, H je visina, alfa-je kut na donjoj podlozi.

Odredite duljinu sljedećih formula:

- D = radikal- (H2 + (A-P * ctgalpha-) 2);

- D = radikal- (H2 + (B + P * ctgalpha-) 2);

- D = radikal- (A2 + C2-2A * radik- (C2-H2)).

Elementi i svojstva pravokutnog trapeza

Pogledajmo što je zanimljivo za ovu geometrijsku figuru. Kao što smo već rekli, pravokutni trapezoid ima dva pravca.

Osim klasične definicije, postoje i drugi. Na primjer, pravokutni trapezoid je trapezoid u kojem je jedna strana okomita na baze. Ili lik s pravim kutem na strani. U ovoj vrsti trapeza, visina je jednaka bočnoj strani, koja je okomita na baze. Srednja linija je segment koji povezuje sredinu dviju strana. Imovina elementa spominje se da je paralelna s bazama i jednaka je polovici njihova zbroja.

Pogledajmo sada osnovne formule koje definiraju ovu geometrijsku figuru. U tu svrhu pretpostavljamo da su A i B baze-C (okomite na baze) i D-strane pravokutnog trapeza, M je srednja linija, alfa je akutni kut, a Π je područje.

1. strana, okomita na baze, jednaka je visini slike (C = H), a jednaka je proizvodu duljine druge stranice D i sinusu kuta alfa za veću osnovu (C = D * sinalpha-). Osim toga, jednak je proizvodu tangente akutnog kuta alfa i osnovna razlika: C = (A-B) * tgalfa-.

2. strana D (nije okomito na bazu) jednak kvocijentu razlike A i B i kosinusu (alfa), akutna oblik kut ili privatne visinu H i sine oštar kut: A = (A-B) / cos alfa = C / sinalfa-.

3. strana koja je okomita na baze jednaka je kvadratnom korijenu razlike između kvadrata D-druge strane i kvadrata razlike u osnovicama:

C = radikalno- (A2- (AB) 2).

4. Strana D pravokutnog trapeza jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata bočne C i kvadrat razlike u osnovama geometrijske slike: A = radikalno (C2 + (AB) 2).

5. Strana C jednaka je količinu dijeljenja dvostrukog područja zbrojem svojih baza: C = П / М = 2П / (A + B).

6. Područje definirano M proizvoda (središnje linije trapeza pravokutnim) u visinu ili bočnom smjeru okomitom na bazi: P = M * N = M * C

7. Strana C je jednaka količinu dijeljenja udvostručenog područja slike s proizvodom sinusa akutnog kuta i zbrojem njegovih baza: C = P / M * sinalfa- = 2P / ((A + B) * sinalfa-).

8. Formule bočne strane pravokutnog trapeza kroz svoje dijagonale i kut između njih:

- sinalfa- = sinbeta-;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinalfa- (D1 * D2 / (A + B)) * sinbeta-,

gdje su D1 i D2 dijagonalni dijelovi trapezium- alfa i beta- kutovi između njih.

9. Spoj formule strane pod kutom na donjoj bazi i drugi: A = (A-B) / C = cosalpha- / sinalpha- = H / sinalpha-.

Budući da je trapezoid s pravim kutom poseban slučaj trapeza, preostale formule koje definiraju ove brojke također će odgovarati pravokutnom.

Ispražnjena svojstva kruga

Ako uvjet kaže da je krug upisan u pravokutni trapezoid, tada se mogu koristiti sljedeća svojstva:

- zbroj baza je jednak zbroju bočnih strana;

- Udaljenost od vrha pravokutne figure do točaka tangencije upisanog kruga je uvijek jednaka;

- Visina trapeza je jednaka bočnoj strani, okomito na baze, i jednaka je promjer kruga;

- Središte kruga je točka na kojoj je bisectors of angles;

- ako je bočna strana podijeljena s točkom tangencije u segmente H i M, tada polumjer kruga jednak je kvadratnom korijenu proizvoda tih segmenata;

- četverokut, koji je nastao po točkama tangencije, vrh trapezoida i središte upisanog kruga je trg čija je strana jednaka radijusu;

- područje slike je jednako proizvodu osnovica i proizvod polumasa baze po svojoj visini.

Slični trapezi

Ova je tema vrlo prikladna za proučavanje svojstava ove geometrijska figura. Na primjer, dijagonale dijele trapezoid u četiri trokuta, pri čemu su susjedne baze slične, a na stranama - jednake. Ta se izjava može nazvati svojstvo trokuta, na koje je trapezij podijeljen dijagonalama. Prvi dio ove izjave dokazuje se kriterijem sličnosti u dva kruga. Za dokazivanje drugog dijela, bolje je koristiti metodu dane u nastavku.

Dokaz teorema

Pretpostavljamo da je obrazac ABSD (AD i BS - osnova trapezoida) prekidan dijagonalama VD i AC. Točka njihove križanja je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na dnu baze, BOS - na gornjoj podlozi, ABO i SOD na bočnim stranama. Trokuti SOD i BFD imaju zajedničku visinu u slučaju kada su segmenti B i D njihove baze. Dobivamo da je razlika u njihovim područjima (II) jednaka razlici ovih segmenata: NFS / LFD = B0 / OD = K. Dakle, LDPE = NSP / K. Slično tome, trokuta BF i AOB imaju zajedničku visinu. Odvodimo segmente CO i OA za svoje baze. Dobivamo PBO / PAOB = CO / OA = K i PAOB = PBO / K. Iz toga slijedi da PSCM = PAOB.

Kako bi popravili materijal, studenti se potiču da pronađu vezu između područja dobivenih trokuta, kojima je trapezij podijeljen dijagonalama, rješavajući sljedeći problem. Poznato je da su u trokutima BF i ADN područja jednaka, nužno je pronaći područje trapeza. Budući da je LDPE = PAOB, to znači da je PABSD = PBO + PAOJD + 2 * LOAD. Iz sličnosti trokuta BOS i ANOD slijedi da B0 / D3 = radikalno (PBO / PAOD). Stoga, BSP / DPPM = BO / OD = radikalno (PBO / PAOD). Dobivamo PSOD = radikalno (PBO * PAOD). Zatim, PABSD = PBO + PAOAD + 2 * radikalno (PAO * PAOD) = (radikalno-PBO + radikalno-PAOE) 2.

Sličnost svojstva

Nastavljajući s razvojem ove teme, moguće je dokazati i druge zanimljive trapezoidne značajke. Dakle, uz pomoć sličnosti, moguće je dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu sjecištem dijagonala ove geometrijske figure paralelno s bazama. U tu svrhu riješimo sljedeći problem: potrebno je pronaći duljinu segmenta PK koja prolazi kroz točku O. Sličnost trokuta ADD i BF, slijedi da AO / OC = AD / BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Iz toga dobivamo PO = BC * AD / (BS + AD). Slično tome, iz sličnosti trokuta MLC i DBS slijedi da OK = BS * AD / (BS + AD). Iz toga proizlazi da PO = OK i PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Segment koji prolazi kroz točku križanja dijagonala, paralelno s bazama i spaja dvije bočne strane, podijeljen je s točkom raskrižja na pola. Njezina duljina je prosječna harmonijska osnova ove figure.

Razmotrite sljedeću trapeznu kvalitetu, koja se zove svojstvo od četiri točke. Točke sjecišta dijagonala (D), sjecišta proširenja bočnih stranica (E), a također i sredina baza (T i M) uvijek leže na jednoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobiveni trokuti BEC i AED su slični, a u svakoj od njih medijan ET i EF podijele kut na vrhu E u jednakim dijelovima. Slijedom toga, točke E, T i M leže na jednoj liniji. Na isti način, točke T, 0 i M nalaze se na jednoj ravnoj crti. Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Stoga zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i F - ležati na jednoj ravnoj liniji.

Koristeći se sličnim trapezima, moguće je predložiti učenicima da pronađu duljinu segmenta (LF), koji prekida lik na dva slična. Ovaj segment bi trebao biti paralelan s bazama. Budući da su dobiveni trapezoidi ALFD i LBSF slični, tada BS / LF = LF / AD. Stoga slijedi da je ΛΦ = radikalno (BS * AD). Dobivamo da segment koji dijeli trapezoid na dva slična ima duljinu jednaku prosječnoj geometrijskoj duljini baze likova.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Na svojoj bazi nalazi se segment koji dijeli trapezoid na dvije jednake veličine. Pretpostavljamo da je trapezoid ABSD podijeljen segmentom EH u dvije slične. Visina se ispušta iz vrha B, koja je podijeljena s segmentom EH u dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 i drugi (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Stoga slijedi da B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) i BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Dobivamo da duljina segmenta koji dijeli trapezoid na dva jednaka dijela jednaka je prosječnoj dužini korijena: radic - ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključci o sličnosti

Tako smo dokazali da:

1. Segment povezuje sredini trapeza na bočnim stranama, paralelno s AT i BS i BS aritmetička sredina i (dužina baza trapezoida) BP.

2. Traka koja prolazi kroz točke O križanja dijagonalama paralelnog AD i BC biti jednaki harmonika srednje brojeve BP i BS (2 x BS x AD / (AD + BC)).

3. Segment koji dijeli trapezoid na slične ima duljinu prosječne geometrijske baze BS i AD.

4. Element koji dijeli sliku na dva jednaka dijela ima duljinu srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Kako bi se konsolidirao materijal i shvatio povezanost između razmatranih segmenata, student treba izgraditi ih za određeni trapezoid. Jednostavno može prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala lika - paralelno s bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Taj će odgovor voditi učeniku da otkrije željeni odnos između srednjih vrijednosti.

Segment koji povezuje polumjere dijagonala trapezoida

Razmotrite sljedeće svojstvo ove figure. Pretpostavljamo da je segment MN paralelan s bazama i dijeli dijagonalu na pola. Točke presjeka će se zvati W i W. Ovaj segment će biti jednak pola razlike baze. Neka nam to detaljnije analiziramo. MS je srednja linija trokuta ABC, jednaka je BS / 2. MN je srednja linija trokuta ABD, jednaka AD / 2. Tada dobivamo da Wm = MN-MN, i posljedično W, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Težište

Pogledajmo kako je ovaj element definiran za određenu geometrijsku figuru. Za to je potrebno proširiti bazu u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati dno na gornju bazu - na obje strane, na primjer, s desne strane. I dno se proteže duljinom gornje lijeve strane. Zatim ih povežite s dijagonalom. Točka raskrižja ovog segmenta s srednjom linijom lik je središte gravitacije trapeza.

Upišeni i opisani trapezi

Navedimo značajke takvih likova:

1. Trapezoid se može upisati u krug samo ako je jednoznačan.

2. Oko opsega može se opisati trapezoid, pod uvjetom da zbroj duljina njihovih baza bude jednak zbroju duljina bočnih stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama radijusima.

2. Lateralna strana opisanog trapezija promatra se od središta kružnice pod pravim kutom.

Prva posljedica je očigledna i dokazati drugu, potrebno je utvrditi da je kut SOD-a izravna, što u stvari također ne predstavlja mnogo poteškoća. Ali poznavanje ove imovine omogućit će nam da primijenimo pravokutni trokut pri rješavanju problema.

Sada ćemo konkretizirati ove posljedice za jednodijelni trapezoid koji je upisan u krug. Dobivamo da je visina geometrijska sredina baze slike: H = 2R = radikalno (BS * AD). Obrađivanje osnovne metode rješavanja problema trapeza (načelo držanja dvije visine) student mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednoznačne figure ABSD-a. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Primjenom gore opisane formule to neće biti teško učiniti.

Sada ćemo odrediti kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. S vrha B spušemo visinu do baze krvnog tlaka. Budući da je krug upisan u trapezoid, onda BS + AD = 2AB ili AB = (BS + AD) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinalpha- = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PBSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Dobivamo PABBR = (BS + AD) * R, slijedi da je R = PABSD / (BS + AD).

.

Sve formule srednje linije trapeza

Sada je vrijeme za prelazak na posljednji element ove geometrijske figure. Pogledajmo što je srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A + B) / 2.

2. Kroz visinu, podnožje i kutove:

• M = A-H * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2;

• M = B + H * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2.

3. Visinom, dijagonalama i kutom između njih. Na primjer, D1 i D2 su trapezium- alfa, beta- - kutovi između njih:

M = D1 * D2 * sinalfa- / 2H = Dl * D2 * sinbeta- / 2H.

4. Kroz područje i visinu: M = P / H.