Kvadrilateralno pod pravim kutom je ... Zbroj kutova četverokuta

Jedna od najzanimljivijih tema geometrije iz školskog kolegija je "Quadrangles" (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koje su posebne osobine imale? Koja je jedinstvenost četverokuta s kutovima devedeset stupnjeva? Pogledajmo sve ovo.

Koju geometrijsku sliku nazivamo četverokut

Poligoni koji se sastoje od četiri strane i, dakle, od četiri vrha (kutova) nazivaju se četverokutima u Euklidskoj geometriji.

Zanimljiva je povijest imena takvih figura. U ruskom jeziku imenica „četverokut” dolazi od „četiri kuta” izraze (na isti način kao „trokut” - tri kutova, „peterokut” - pet kuteva, itd ...).

Međutim, na latinskom (kroz čije posredovanje mnogi geometrijski pojmovi dolaze na većinu svjetskih jezika) naziva se četverostrana. Riječ je formirana od brojčanih quadri (četiri) i imenica latus (strana). Tako možemo zaključiti da je u drevnom poligonu nazvan samo "četverostrana".

Usput, ovo ime (s naglaskom na prisutnost četiri strane, a ne kutova) na ovoj slici sačuvano je u nekim suvremenim jezicima. Na primjer, na engleskom - četverostrukom i francuskom - quadrilatère.

U većini slavenskih jezika ova vrsta je identificiran figure i dalje na broju uglova, a ne sa strane. Na primjer, u Slovačkoj (scaron-tvoruholník), u bugarskom ( „chetiriglnik‘) u Bjelorusiji (’chatyrohkutnіk‘) u ukrajinskom (’chotirikutnik„), češki (čtyřúhelník), ali u poljskom četverokuta zove na broj stranaka - czworoboczny ,

Kakve četverokuta proučavaju se u školskom programu

U modernoj geometriji razlikuju se četiri vrste poligona s četiri strane. Međutim, zbog prekompliciranih svojstava nekih od njih, samo se dvije vrste poučavaju u nastavi geometrije učenika.

• Paralelogram (paralelogram). Suprotne strane četverokuta paralelne su jedna s drugom i, prema tome, također su paru.
• Trapezium (trapezium ili trapezoid). Ovaj četverokut se sastoji od dvije suprotne strane, paralelne jedna s drugom. Međutim, drugi par stranaka nema takvu značajku.

Vrste četverokuta koji nisu proučavani u školskom smjeru geometrije

Pored gore navedenog, postoje još dvije vrste četverokuta koje učenici nisu upoznati sa geometrijskim razredima, zbog njihove posebne složenosti.

• Deltooid (zmaj) - lik u kojem je svaki od dviju parova susjednih strana jednak međusobno u dužini. Ime ovog kvadranta je zbog činjenice da je u izgledu prilično sličan pismu grčke abecede - "delta".
• Antiparallelogram (antiparallelogram) - ta brojka jednako je složena kao i njegovo ime. U njemu dvije suprotne strane su jednake, ali nisu međusobno paralelni. Osim toga, dugačke suprotne strane ovog četverokuta preklapaju se, kao i produžetke druge dvije kraće strane.

Vrste paralelograma

Nakon što se bavila glavnim tipovima četverokuta, vrijedi obratiti pozornost na svoju podvrstu. Tako su svi paralelogrami, također, podijeljeni u četiri skupine.

• Klasični paralelogram.
• Rhombus (rhombus) - četverokutni lik s jednakim stranama. Njegove dijagonale presijecaju pod pravim kutom, dijeleći dijamant u četiri jednake pravokutne trokuta.
• Pravokutnik (pravokutnik). Ime govori za sebe. Budući da je riječ o četverokutu s pravim kutovima (svaki od njih je jednak devedeset stupnjeva). Njegove suprotne strane nisu međusobno paralelne, već također jednake.
• Trg (kvadrat). Kao pravokutnik, to je četverokut s pravim kutom, ali sve strane su jednake jedna drugoj. Ova je brojka blizu rombusa. Tako se može tvrditi da je kvadrat križ između dijamanta i pravokutnika.

Posebna svojstva pravokutnika

S obzirom na brojke u kojima je svaki kut između strana jednak devedeset stupnjeva, vrijedi pogledati bliže pravokutniku. Dakle, kakve posebnosti ima onaj koji ga razlikuje od drugih paralelograma?

Za tvrdnju da je paralelogram u pitanju pravokutnik, njegove dijagonale moraju biti jednake jedni drugima, a svaki od kutova je ravno. Osim toga, kvadrat dijagonala trebao bi odgovarati zbroju kvadrata dviju susjednih strana ove figure. Drugim riječima, klasični pravokutnik sastoji se od dva pravokutna trokuta, a u njima, kao što je poznato, zbroj kvadrata nogu jednak je kvadrantu hipotenuze. U ulozi hipotenuze pojavljuje se dijagonalna četvorka koja se razmatra.

Posljednji od navedenih karakteristika ove figure je također njena posebna imovina. Osim toga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane četverokuta proučene s pravim kutevima istodobno njegove visine.

Osim toga, ako nacrtate krug oko bilo kojeg pravokutnika, njezin će promjer biti jednak dijagonalnoj slici.

Među ostalim svojstvima ovog četverokuta, ne postoji činjenica da je ravna iu neeuklidskoj geometriji. To je zbog činjenice da u ovom sustavu nema četverokutnih figura čiji je zbroj kutova jednak tri stotine i šezdeset stupnjeva.

Trg i njegove značajke

Nakon što se bavila karakteristikama i svojstvima pravokutnika, vrijedi obratiti pažnju na drugi poznati kvadrat s ravnim kutovima (to je kvadrat).

Zapravo je isti pravokutnik, ali s jednakim stranama, ova slika ima sva svojstva. No, za razliku od toga, trg je prisutan u neeuklidskoj geometriji.

Osim toga, ta brojka ima i drugih vlastitih osobitosti. Na primjer, činjenica da dijagonale kvadrata nisu međusobno jednake, već se i presijecaju pod pravim kutom. Dakle, poput dijamanta, kvadrat se sastoji od četiri pravokutnog trokuta, u koji je podijeljen dijagonalama.

Osim toga, ta je slika najsličnija među svim četverokutima.

Kolika je zbroj kutova četverokuta

S obzirom na singularnosti četverotala Euklidske geometrije, vrijedi obratiti pažnju na njihove kutove.

Dakle, u svakoj od gore navedenih figura, bez obzira na to ima li pravu kut ili nije, njihov ukupni iznos je uvijek isti - tri stotine i šezdeset stupnjeva. Ovo je jedinstvena osobitost ove vrste likova.

Opseg kvadrilaterala

Nakon što se bavila s tim, što je zbroj kuteva četverostrana i drugih posebnih svojstava oblika ove vrste, potrebno je znati što je najbolje koristiti formule za izračunavanje njihove perimetar i prostor.

Da biste odredili opseg bilo kojeg četverokuta, samo trebate dodati duljinu svih njegovih strana.

Na primjer, na slici KLMN njegov se perimetar može izračunati pomoću formule: P = KL + LM + MN + KN. Ako ovdje mijenjamo brojeve, dobivamo: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

U slučaju kada je u obzir iznos - kvadratni ili romb, za pronalaženje opseg formule može se pojednostavljeno jednostavnim množenjem duljine jednog od svojih strana četiri P x = KL primjer 4. 6 x 4 = 24 (cm).

Kvadratne kvadratne formule

Nakon što se riješio načina pronalaženja perimetra bilo koje figure s četiri ugla i strane, vrijedno je razmotriti najpopularnije i jednostavnije načine pronalaženja svojeg područja.

• Klasičan način izračuna je korištenje formule S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Ispada da je površina bilo kojeg četverokuta jednaka polovici proizvoda svojih dijagonalica sine od kuta koji se nalazi između njih.
• Ako je lik čije je područje potrebno je pronaći - to je pravokutnik ili kvadrat (od kojih je dijagonale je uvijek jednak jedni druge), možemo pojednostaviti formulu, podignut na trgu duljine jedne dijagonale i množenjem sinus kuta između njih i dijeleći je na pola sve. Na primjer: S = 1/2 CM ² x SIN LON.
• Također, prilikom pronalaženja područja pravokutnika mogu pomoći i informacije o perimetru dotične figure i duljini jedne od njegovih strana. U ovom slučaju, najprikladnije je koristiti formulu S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• U slučaju trga, njegova svojstva omogućuju nam da upotrijebimo nekoliko dodatnih formula za pronalaženje tog područja. Na primjer, poznavanje perimetra neke figure, možete koristiti ovu opciju: S = P ²/ 16. I ako je poznat radijus kruga upisanog u četverokut, kvadrat trga je na vrlo sličan način: S = 4r². Ako je poznat radijus opisanog kruga, tada je prikladna druga formula: S = 2R². također Trg trga jednaka je 0,8 duljine linije nacrtane od kuta slike do sredine suprotne strane.
• Uz sve navedeno, postoji i zasebna formula za pronalaženje područja, izračunata posebno za paralelogram. Može se upotrijebiti, ako je poznato, duljina dvije visine likova i veličina kuta između njih. Zatim se visine moraju razmnožavati između sebe i sine kut između njih. Važno je napomenuti da možete koristiti ovu formulu za sve figure koji se odnose na parallelograms (tj. U pravokutnik, romb i trg).

Ostala svojstva četverokuta: upisani i ograničeni krugovi

Razmatrajući značajke i svojstva četverokuta kao figure euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na mogućnost opisivanja ili zatvaranja krugova unutar njega:

• Ako je zbroj nasuprotnih kutova lik gore po stotinu i osamdeset stupnjeva i jednaki jedni drugima, to je moguće opisati krug slobodno oko tog četverokuta.
• Prema Ptolemejevoj teorem, ako opisane kružnice izvan poligona s četiri strane, proizvod dijagonala jednak zbroju proizvoda suprotnim stranama slici. Tako će formula izgledati ovako: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ako konstruiramo četverokut, u kojem su sume suprotnih strana jednake jedna drugoj, tada se u njega može upisati krug.

Što se tiče četverokuta, kakva je ona, koja od njih ima samo izravne kutove između strana i koje svojstva posjeduju, vrijedno je prisjetiti se svih tih materijala. Konkretno, formulirane su formule za pronalaženje perimetra i područja poligona. Naposljetku, likovi ovog oblika - jedan od najčešćih, a ovo znanje može biti korisno za izračune u stvarnom životu.