Logaritmi: primjeri i rješenja

Kao što je poznato, prilikom množenja izraza s ovlastima, njihovi eksponenti su uvijek dodani (a^b

Definicija u matematici

Logaritam je izraz oblika: logb = C, tj logaritam bilo ne-negativne cijeli broj (a to je bilo pozitivno) „b” u svojoj bazi „a” se smatra stupanj „c”, koja je potrebna za gradnju bazu „a”, na „B”, čime se dobije vrijednost rezultata. Idemo analizirati logaritam na primjerima, recimo, postoji logotip izražavanja₂8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, morate pronaći stupanj da biste dobili 2 od traženog stupnja 8. Nakon što ste napravili neke izračune u svom umu, dobit ćete broj 3! I to je istina, jer 2 u snazi ​​3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritmi

Za mnoge učenike i studente, ova tema izgleda komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti, logaritmi nisu tako strašna, glavna stvar - da razumiju opće značenje njih i ne zaboravite im svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam je ln, gdje je baza Eulerov broj (e = 2.7).
2. Decimalni logaritam je lg a, gdje je baza broj 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na bazi a> 1.

Svaki od njih riješen je na standardni način, uključujući pojednostavljenje, smanjenje i naknadno smanjenje jednog logaritma uz pomoć logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritma, sjetite se njihovih svojstava i redoslijeda njihova djelovanja prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila - ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, tj. Nisu predmet rasprave i istinite su. Na primjer, ne možete podijeliti brojeve nižom, a još je uvijek nemoguće izdvojiti korijen čak iz negativnih brojeva. Logaritmi imaju i vlastita pravila, nakon čega se lako može naučiti raditi čak i s dugim i velikim logaritamskim izrazima:

• baza „a” uvijek mora biti veći od nule, a ne biti jednaka 1, inače izraz će izgubiti svoje značenje, jer je „1” i „0” na bilo kojoj razini je uvijek jednake njihovim vrijednostima;
• ako je> 0, onda a^b0, ispada da bi "c" trebalo biti veće od nule.

Kako riješiti logaritame?

Na primjer, s obzirom na zadatak pronalaženja odgovora na jednadžbu 10^x= 100. To je vrlo lako, morate odabrati takav stupanj, podizanje na deset, dobijemo 100. Ovo je, naravno, kvadratna snaga! 10²= 100.

A sada predstavljamo ovaj izraz u obliku logaritamskog izraza. Dobivamo zapisnik₁₀100 = 2. Kod rješavanja logaritmi, sve radnje praktički konvergiraju kako bi se utvrdio stupanj do kojeg se baza logaritma mora uvesti kako bi se dobio određeni broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi sa stupnjevitom tablicom. Izgleda ovako:

Kao što možete vidjeti, neki eksponenti mogu se intuitivno nagađati ako postoji tehnički razmišljanje i znanje o tablici množenja. Međutim, za velike vrijednosti, potrebna je tablica stupnjeva. Može se koristiti i onima koji uopće ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost stupnja c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju u ćelijama, vrijednosti brojeva koje su odgovor (a^c= b). Uzmite, na primjer, prvi mobitel s brojem 10 i donijeti ga na trg, dobili smo vrijednost od 100, koji se prikazuje na sjecištu dviju naših stanica. Sve je tako jednostavno i lako, da će čak i istinski humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Slijedom toga, svaki matematički numerički izraz može se napisati u obliku logaritamske jednakosti. Na primjer, 3⁴= 81 može se napisati u obliku logaritma broja 81 s bazom 3 jednakom četiri (log₃81 = 4). Za negativne ovlasti, pravila su ista: 2^-5= 1/32 pišemo u obliku logaritma, dobivamo log₂ (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". Primjeri i rješenja jednadžbi će se razmotriti ispod, neposredno nakon proučavanja njihovih svojstava. A sada analizirati kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Sljedeći izraz je dan: log₂(x-1)> 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "x" ispod znaka logaritma. I u izrazu se uspoređuju dvije veličine: logaritam potrebnog broja na dnu baze je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednakosti leži u činjenici da jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam₂x = Radić-9) znači u odgovoru jednu ili više definiranih numeričkih vrijednosti, dok u rješavanju nejednakosti definiraju i raspon dopuštenih vrijednosti i točke prekida ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuiranu seriju ili niz brojeva.

Osnovni teoremi na logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka za pronalaženje vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda nisu poznata. Međutim, kada je riječ o logaritamskim jednadžbama ili nejednakostima, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritmi. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, najprije ćemo detaljno analizirati svaku nekretninu.

1. Osnovni identitet je sljedeći: a^logaB= B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednak jedan, a B veći od nule.
2. Logaritam produkta može se prikazati u sljedećoj formuli: log_d(s₁* s_{2) =} klada_da₁ + klada_da_2. U ovom slučaju, obvezno stanje je: d, s₁ i s₂ > 0-ane-1. Možemo dati dokaz za ovu formulu logaritmi, s primjerima i rješenjima. Pretpostavimo da je loga₁ = f₁ i prijavite sea₂ = f₂, zatim a^f1= s₁, ^f2= s_2. Dobivamo to₁* s₂ = a^f1* a^f2= a^{f1 + f2} (svojstva ovlasti), a zatim definicijom: log(s₁* s₂) = f₁+ f₂ = logs1 + loga₂ što je trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta je: log(s_{1 /}a₂) = loga₁- kladaa_2.
4. Teorem u formuli ima sljedeći oblik: log^q bⁿ = n / q logb.

Ta se formula naziva "svojstvo logaritma". Ona sliči svojstvima običnih stupnjeva, i to ne čudi, jer se sva matematika temelji na logičkim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Pretpostavimo da je logb = t, dobivamo a^tb. Ako podignemo obje strane snazi ​​m: a^tn bⁿ;

ali od a^tn= (a^q)^{nt / q} bⁿ, stoga se prijavite^q bⁿ = (n * t) / t, a zatim prijavite^q bⁿ = n / q logb. Dokazan je teorem.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi problema na temu logaritmi su primjeri jednadžbi i nejednakosti. Pronađeni su u gotovo svim problemskim knjigama, a također su uključeni u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli u sveučilište ili pristupili matematici, trebate znati ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, čest plan ili plan rješenja i određivanje nepoznatih vrijednosti logaritma ne postoji, već da svaki matematički nejednakosti i logaritamske jednadžbe možete primijeniti određena pravila. Prije svega, potrebno je saznati je li moguće pojednostaviti izražavanje ili dovesti do općeg stajališta. Možete pojednostaviti dugačke logaritamske izraze ako ispravno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih.

Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi potrebno je utvrditi kakav je logaritet prije nas: primjer izraz može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo nekoliko primjera decimalni logaritmi: ln100, ln1026. Njihova se otopina svodi na činjenicu da je potrebno odrediti stupanj do kojeg će osnovica 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritmi valja primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješenja logaritamskih problema različitih vrsta.

Kako koristiti formule logaritam: s primjerima i rješenjima

Tako ćemo razmotriti primjere korištenja osnovnih teorema na logaritamima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno razgraditi veliku vrijednost broja b u jednostavnije čimbenike. Na primjer, prijavite se₂4 + log₂128 = log₂(4 x 128) = log₂512. Odgovor je 9.
2. klada₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stupnja logaritma, bilo je moguće na prvi pogled riješiti složeni i nerješivi izraz. Potrebno je samo razgraditi bazu u višestruke, a zatim preuzeti vrijednosti stupnja iz znaka logaritma.

Zadatke iz USE

Logaritmi se često nalaze na prijamnim ispitu, osobito mnogim logaritamskim problemima u USE (državni ispit za sve odgojitelje). Obično ti zadaci nisu prisutni samo u Dijelu A (najjednostavniji testni dio ispita), već iu Dijelu C (najsloženije i opsežnije zadatke). Ispit znači precizno i ​​savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih USE varijanti. Pogledajmo kako su takvi zadaci riješeni.

S obzirom na zapisnik₂(2x-1) = 4. Otopina:
prepisati izraz, pojednostavljujući je s logom₂(2x-1) = 2², po definiciji logaritma, nalazimo da je 2x-1 = 2⁴, stoga 2x = 17-x = 8.5.

Slijedi nekoliko preporuka, nakon čega možete lako riješiti sve jednadžbe koje sadrže izraze koji su pod znakom logaritma.

• Svi logaritmi su najbolje voditi do jednog razloga, tako da rješenje nije neumoljivo i zbunjujuće.
• Sve izražavanja pod logaritam znak je prikazan kao pozitivan, tako da prilikom donošenja izraz multiplikator eksponenta, koji stoji pod znakom logaritma, a kao svoj temelj, ostaje pod logaritma izražavanja mora biti pozitivna.