Što je aritmetika? Glavni teorem aritmetike. Binarna aritmetička

Što je aritmetika? Kada je čovječanstvo počelo koristiti brojeve i raditi s njima? Tamo gdje su korijeni takvih običnih pojmova kao i brojevi, frakcije, oduzimanje,

Možda aritmetika nije toliko duboka kao i druge znanosti, ali što bi im se dogodilo, zaboravite elementarnu tablicu umnožavanja? Uobičajeno logičko razmišljanje, koristeći brojeve, frakcije i druge alate, nije bilo lako davati ljudima i dugo nije bilo dostupno za naše pretke. Zapravo, prije razvoja aritmetike, niti jedno polje ljudskog znanja nije doista bilo znanstveno.

Aritmetička je abeceda matematike

Aritmetička je znanost brojeva, s kojima se svaka osoba počinje upoznavati s fascinantnim svijetom matematike. Kao što je rekao M. Lomonosov, aritmetika je pristupnica stipendiranja koja nam otvara put svjetskoj spoznaji. Ali ima pravo, može li se znanje o svijetu odvajati od znanja o brojevima i slovima, matematici i govoru? Možda u starim vremenima, ali ne u modernom svijetu, gdje brz razvoj znanosti i tehnologije diktira svoje zakone.

Riječ "aritmetika" (grčki "arithmos") grčkog podrijetla znači "broj". Proučava broj i sve što može biti povezano s njima. Ovo je svijet brojeva: različite akcije brojevi, numerički pravila, rješavanje problema koji uključuju umnožavanje, oduzimanje i tako dalje.

Općenito je prihvaćeno da je aritmetika početni korak matematike i čvrsti temelj za složenije dijelove, poput algebre, matanalize, veće matematike i tako dalje.

Glavni je cilj aritmetike

Temelj aritmetike je cijeli broj čija se svojstva i pravilnosti smatraju višom aritmetičkom ili teorija brojeva. Zapravo, snaga cijele zgrade - matematika ovisi o tome kako dobro uzeti točan pristup uzimajući u obzir tako mali blok kao prirodni broj.

Dakle, pitanje što je aritmetika, možete jednostavno odgovoriti: to je znanost o brojevima. Da, o uobičajenim sedam, devet i svima tim raznovrsnim zajednicama. I kao što ne možete pisati dobre i osrednje pjesme bez osnovne abecede, bez aritmetike, čak ni ne možete riješiti elementarni problem. Zato se sve znanosti razvile tek nakon razvoja matematičkih i aritmetika, prije svega samo skup pretpostavki.

Aritmetička - fantomska znanost

Što je aritmetika - prirodna znanost ili fantom? Zapravo, kao što tvrde drevni grčki filozofi, u stvarnosti nema brojeva ili brojki. Ovo je samo fantom koji se stvara u ljudskom razmišljanju pri razmatranju okoliša s njegovim procesima. Zapravo, što je broj? Nigdje ne vidimo ništa slično, što bi se moglo nazvati brojom, a broj je način ljudskog uma da proučava svijet. I možda je ovo proučavanje sebe iznutra? Filozofi su se raspravljali o tome već nekoliko stoljeća zaredom, tako da ne poduzimamo iscrpan odgovor. Na jedan ili drugi način, aritmetika je uspjela tako čvrsto prihvatiti svoje stavove da se u današnjem svijetu nitko ne može smatrati društveno prilagođenim bez poznavanja svojih temelja.

Kako se pojavio prirodni broj

Naravno, glavni objekt kojim upravlja aritmetička je prirodni broj, kao što su 1, 2, 3, 4, hellip-, 152 ... itd. Aritmetika prirodnih brojeva rezultat je brojanja običnih predmeta, na primjer, krava na livadi. Ipak, definicija "puno" ili "malo" nekad prestala odgovarati ljudima, i morala sam izmisliti bolje tehnike računanja.

Ali pravi se pomak dogodio kad je ljudska misao dospjela do točke da je moguće odrediti isti "dva" broja i 2 kilograma, i 2 opeke i 2 dijela. Činjenica je da morate apstrahirati od oblika, svojstava i značenja predmeta, a zatim možete napraviti neke akcije s tim objektima u obliku prirodnih brojeva. Tako je rođen aritmetički broj koji se dalje razvio i proširio, zauzimajući sve veće pozicije u životu društva.

Takvi temeljni pojmovi brojeva, kao nula i negativni broj, frakcije, oznake brojeva u broju i na druge načine, imaju najbogatiju i najzanimljiviju povijest razvoja.

Aritmetički i praktični Egipćani

Dva od najstarijih ljudskih pratitelja u proučavanju okolnog svijeta i rješavanje svakodnevnih problema su aritmetika i geometrija.

Vjeruje se da povijest aritmetike potječe iz Drevnog Istoka: u Indiji, Egiptu, Babilonu i Kini. Tako je papirus Rinda iz egipatskog podrijetla (nazvan tako, jer je pripadao istoimenom vlasniku), datiran u XX. Stoljeće. BC, osim ostalih vrijednih podataka, sadrži razgradnju jedne frakcije s zbrojem frakcija s različitim nazivnikom i brojčanim brojem jednakim broju.

Na primjer: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Ali koja je točka takve složene razgradnje? Činjenica je da egipatski pristup nije tolerirao apstraktno razmišljanje o brojevima, naprotiv, izračuni su napravljeni samo za praktične svrhe. To jest, egipatski će biti angažiran u takvoj stvari kao što su izračuni, isključivo radi izgradnje grobnice, na primjer. Bilo je potrebno izračunati duljinu ruba strukture, a to je prisililo osobu da sjedne za papirus. Očigledno, egipatski napredak u izračunima bio je prouzročen, već masivnim gradnjom, a ne ljubavlju znanosti.

Zbog toga se izračuni na papirima ne mogu nazvati refleksijama na frakcije. Najvjerojatnije je to praktična nabava, koja je u budućnosti pomogla riješiti probleme s frakcijama. Drevni Egipćani, koji nisu znali tablice umnožavanja, dali su prilično dugi izračuni, razbijeni u mnoge pododjeljke. Možda je to jedna od tih podzadataka. Nije teško vidjeti da su izračuni s takvim pripremanjem vrlo naporni i malo izgledni. Možda, zbog toga, ne vidimo veliki doprinos drevnog Egipta razvoju matematike.

Drevna Grčka i Filozofska aritmetička

Mnogo znanja o Starom Istoku uspješno su osvojili drevni Grci, poznati ljubitelji apstraktnih, apstraktnih i filozofskih razmišljanja. Praksa njih zainteresirana ne manje, ali teško je naći najbolje teoretičare i mislioce. Ovo je koristilo znanost, budući da je nemoguće izvući u aritmetiku, a da ga ne razbije sa stvarnošću. Naravno, možete umnožiti 10 krava i 100 litara mlijeka, ali daleko neće uspjeti.

Razmišljajući duboko, Grci su ostavili značajan trag u povijesti, a njihova su djela stigla do nas:

• Euklid i "Početak".
• Pitagora.
• Arhimed.
• Eratosten.
• Zenon.
• Anaksagora.

Naravno, Grci su sve pretvorili u filozofiju, a osobito na nastavnike pitagorejskog slučaja, toliko su bili odvedeni brojevima što ih smatraju otajstvom harmonije svijeta. Brojevi su tako proučavani i proučavani da su neki od njih i njihovi parovi pripisani posebnim svojstvima. Na primjer:

• Savršeni brojevi su oni koji su jednaki zbroju svih njihovih razdjelnika, osim samog broja (6 = 1 + 2 + 3).
• Prijateljski brojevi su takvi brojevi, od kojih je jedan jednak zbroju svih divizora drugog, i obratno (Pitagorejci su poznavali samo jedan takav par: 220 i 284).

Grci, koji su vjerovali da je znanost potrebna voljeti, a da ne bi bila s njom zbog dobitka, postigla je veliki uspjeh, istraživala, igrala i dodavala brojeve. Valja napomenuti da sva njihova istraživanja nisu pronađena široka primjena, od kojih su neki ostali samo "za ljepotu".

Istočni mislioci srednjega vijeka

Slično tome, u srednjem vijeku aritmetika duguje svoj razvoj istočnim suvremenicima. Indijanci su nam dali brojke koje aktivno koristimo, takvu stvar kao "nulu", i pozicijsku mogućnost sustavi izračuna, poznato modernoj percepciji. Od al-kaše, koji je radio u 15. stoljeću u Samarkandu, naslijedili smo decimale, bez kojih je teško zamisliti suvremenu aritmetiku.

Na mnoge načine, poznanstvo Europe sa dostignućima Istoka postalo je moguće zahvaljujući radu talijanskog znanstvenika Leonardo Fibonacci, koji je napisao knjigu "The Abacus Book", uvođenjem istočnih inovacija. Postao je kamen temeljac razvoja algebre i aritmetičke, istraživačke i znanstvene djelatnosti u Europi.

Ruska aritmetička

I konačno, aritmetika, koja je našla svoje mjesto i ukorijenjena u Europi, počela se širiti na ruske zemlje. Prva ruska aritmetika objavljena je 1703. godine - to je bila knjiga o aritmetici Leonty Magnitskog. Dugo je vremena ostao jedini nastavni priručnik o matematici. Sadrži početne trenutke algebre i geometrije. Brojke korištene u primjerima prvi su u Rusiji udžbenici aritmetičkog, arapskog jezika. Iako su arapski brojevi naišli ranije, na gravurama iz 17. stoljeća.

Sama knjiga je ukrašena slikama Arhimed i Pitagora, a na prvoj stranici - slike aritmetike kao žena. Ona sjedi na prijestolju, ispod je napisano na hebrejskom riječ za ime Boga, a na stepenicama koje vode do oltara, upisanim s riječi „podjela”, „povećanje”, „dodatak”, i tako dalje. D. One mogu samo zamisliti što vrijednost izdao Takve istine, koje se sada smatraju uobičajenim.

Udžbenik od 600 stranica opisuje osnove poput tablice za umnožavanje i umnožavanje, te aplikacija u navigacijskim znanostima.

Nije iznenađujuće, autor je izabrao sliku grčkih mislilaca za njegove knjige, jer je i sam bio očarani ljepotom aritmetike, govoreći: „Aritmetička je chislitelnitsa tamo si fer, nezavistnoehellip-”. Taj je pristup aritmetičkoj potpuno opravdan, jer je njegov široko rasprostranjen uvod koji se može smatrati početkom brzog razvoja znanstvene misli u Rusiji i općeg obrazovanja.

Neuobičajeni premijeri

Broj premijera je prirodni broj, koja ima samo 2 pozitivna razdjeljivača: 1 i sama. Svi drugi brojevi, ne brojeći 1, nazivaju se kompozitni. Primjeri brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, i svi ostali koji nemaju druge dijelove, osim broja 1 i sebe.

Što se tiče broja 1, to je na poseban način - postoji uvjerenje da se ne smije smatrati ni jednostavnim ni kompleksnim. Jednostavan na prvi pogled jednostavan broj skriva mnoštvo neriješenih misterija unutar sebe.

Euklidov teorem kaže da su premijeri beskonačni setovi, a Eratosthenes je došao do posebnog aritmetičkog "sita" koji se podiže neugodnim brojevima, ostavljajući samo one jednostavne.

Njegova je bitno naglasiti prvi neobjavljeni broj, au budućnosti će izbrisati one koji su višestruki. Ponovite ovaj postupak mnogo puta i nabavite tablicu premijera.

Glavni teorem aritmetike

Među promatranjima na brojevima, moramo na poseban način spomenuti osnovni teorem aritmetike.

Osnovni teorem aritmetike kaže da je bilo koji cijeli broj veći od 1 ili jednostavan, ili se može raspasti u proizvod primes unutar reda čimbenika, na jedinstven način.

Glavni teorem aritmetike pokazao se prilično nezgrapanim, a njeno razumijevanje više nije slično najjednostavnijim temeljima.

Na prvi pogled, premijeri su osnovni koncept, ali to nije. Fizika je također jednom smatrao da je atom elementaran sve dok ne pronađe cijeli svemir unutar nje. Lijepa priča matematičara Don Tsagira "Prvih pedeset milijuna premijera" posvećena je premijernim brojevima.

Od "tri jabuke" do deduktivnih zakona

Ono što se uistinu može nazvati pojačanim temeljima čitave znanosti jest zakoni aritmetike. Čak i kao dijete sve aritmetička lica, proučavajući broj nogama i rukama na lutkama, broj kockica, jabuke i tako dalje. D. Dakle, proučavamo aritmetika, koji je tada napreduje u složenijim pravilima.

Cijeli naš život nas upoznaje s pravilima aritmetike, koje su za običnog čovjeka bile najkorisnije od svega što znanost daje. Proučavanje brojeva je "aritmetika-beba", koja uvodi osobu u svijet brojeva u obliku brojeva u ranom djetinjstvu.

Viša aritmetička je deduktivna znanost koja proučava zakone aritmetike. Većina njih znamo, iako, možda, ne znamo njihove točne formulacije.

Zakon dodavanja i množenja

Bilo koja dva prirodna broja a i b mogu se izraziti kao a + b, što je također prirodni broj. Što se tiče dodavanja, primjenjuju se sljedeći zakoni:

• zamjenski, koji kaže da se zbroj ne mijenja iz permutacije summata na mjestima, ili a + b = b + a.
• asocijacioni, koji kaže da zbroj ne ovisi o načinu grupiranja summata na mjestima, ili a + (b + c) = (a + b) + c.

Pravila aritmetike, kao što su dodavanje, su neki od elementarnih, ali koriste ih sve znanosti, a da ne spominjemo svakodnevni život.

Bilo koja dva prirodna broja a i b mogu se izraziti u proizvodu a * b ili a * b, što je također prirodni broj. Isti komutativni i asocijativni zakoni primjenjuju se na proizvod kao dodatak:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Zanimljivo je da postoji zakon koji kombinira dodatak i množenje, koji se naziva i distributivnim ili distributivnim zakonom:

a (b + c) = ab + ac

Ovaj zakon zapravo nas uči da radimo s zagradama, otkrivajući ih, tako da možemo raditi s složenijim formulama. To su upravo zakoni koji će nas voditi kroz bizaran i složen svijet algebre.

Zakon aritmetičkog poretka

Zakon reda koristi ljudsku logiku svaki dan, uspoređujući satove i računajući račune. I ipak, i treba formalizirati u obliku konkretnih formulacija.

Ako imamo dva prirodna brojeva a i b, moguće su sljedeće opcije:

• a je b, ili a = b;
• a je manji od b, ili a < b;
• a je veći od b, ili a> b.

Od tri opcije, samo jedna može biti fer. Osnovni zakon koji uređuje red kaže: ako a < b i b < c, a zatim a< c.

Postoje i zakoni koji se odnose na red s akcijama umnožavanja i dodavanja: ako a< b, zatim a + c < b + c i ac< bc.

Zakoni aritmetike nas uče da rade s brojevima, znakovima i zagradama, pretvarajući sve u skladnu simfoniju brojeva.

Sustav obračuna položaja i pozicioniranja

Možemo reći da su brojevi matematički jezik, iz praktičnosti koji mnogo ovisi. Postoje mnogi sustavi kalkulacije, koji se, poput alfabeta različitih jezika, međusobno razlikuju.

Razmotrimo brojni sustav u smislu utjecaja položaja na kvantitativnu vrijednost znamenke na tom položaju. Na primjer, sustav je rimski nonpositional gdje svaki broj kodira određeni skup posebnih znakova: I / V / X / L / C / D / M su, redom, brojevi 1/5/10/50/100/500 / 1000. U ovom sustavu, ta brojka ne mijenja svoj kvantitativno određivanje, ovisno o tome na kojoj poziciji bi trebao: .. Prva, druga, itd Za ostale brojeve, potrebno je utvrditi osnovicu. Na primjer:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Poznatiji nam je brojčani sustav pomoću arapskih brojeva. U takvom sustavu je broj pražnjenja definira broj znamenki, na primjer, troznamenkaste brojeve: 333, 567, itd Težina prema bilo kojem od pražnjenja ovisi o mjestu na kojem je slika je jedan ili drugi, na primjer, slika 8 u drugom položaju ima vrijednost 80. To je tipično za decimalnog sustava, postoje i druge pozicijski sustava, kao što su binarni.

Binarna aritmetička

Poznato nam je decimalni sustav izračuna, koji se sastoji od jednoznamenkastih brojeva i višenamjenskih brojeva. Broj s lijeve strane u višenamenkastom broju je deset puta veći od značaja od one s desne strane. Dakle, koristili smo čitati 2, 17, 467, itd. Kompletno drugačija logika i pristup za odjeljak, koji se naziva "binarnom aritmetičkom". To ne iznenađuje jer binarnu aritmetičku nije stvorena za ljudsku logiku, već za računalo. Ako je aritmetička brojeva potječe iz prebrojavanja, što dodatno zahvaća iz predmetne nekretnine na „goli” aritmetika, onda to neće raditi s računalom. Da bi mogli podijeliti svoje znanje s računalima, osoba je morala izmisliti takav model izračuna.

Binarna aritmetička djela s binarnom abecedom, koja se sastoji od samo 0 i 1. I korištenje ove abecede naziva se binarnim sustavom računanja.

Razlika između binarne aritmetičke i decimalne vrijednosti jest da važnost položaja na lijevoj strani nije više 10, već 2 puta. Binarni brojevi imaju oblik 111, 1001, itd. Kako razumjeti takve brojeve? Dakle, uzmite u obzir broj 1100:

1. Prva znamenka na lijevoj strani - 1 * 8 = 8, sjetivši se da je četvrta znamenka, pa stoga mora biti pomnožena s 2, dobijemo poziciju 8.
2. Druga znamenka je 1 * 4 = 4 (pozicija 4).
3. Treća znamenka je 0 * 2 = 0 (pozicija 2).
4. Četvrta znamenka je 0 * 1 = 0 (pozicija 1).
5. Dakle, naš broj je 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To je, prijelaz u novu kategoriju na lijevoj njegov značaj u binarnom sustavu množi 2 i decimalnog - do 10. Takav sustav ima jedan nedostatak: to je prevelika bita rasta koji su potrebni za snimanje brojeva. Primjeri prikazivanja decimalnih brojeva u obliku dvobrežnih mogu se vidjeti u sljedećoj tablici.

Desni brojevi u binarnom obliku prikazani su u nastavku.

Također se koriste oktalni i heksadecimalni sustavi izračuna.

Ova tajanstvena aritmetika

Što je aritmetička, "dvaput dva" ili nepoznata tajna brojeva? Kao što vidite, aritmetička se čini jednostavnom na prvi pogled, ali njegova neobjašnjiva jednostavnost je varljiva. Može se proučavati i djeca zajedno s tetkom Sova iz crtića "Aritmetika-beba", ali možete uroniti u duboko znanstveno istraživanje gotovo filozofskog poretka. U povijesti je otišla od prebrojavanja predmeta do obožavanja ljepote brojeva. Samo jedna stvar je sigurna: uspostavom osnovnih postulata aritmetike svaka se znanost može osloniti na svoje snažno ramena.