Točke ekstremiteta neke funkcije. Kako pronaći ekstremne bodove. Zbroj bodova ekstremiteta

Važan koncept u matematici je funkcija. Pomoću nje možete vizualizirati mnoge procese koji se pojavljuju u prirodi, odražavati upotrebu formula, tablica i slika na grafu odnosa između određenih vrijednosti. Primjer je ovisnost tlaka tekućeg sloja na tijelu na dubini uranjanja, ubrzanja - od djelovanja na objekt određene sile, povećanja temperature - od prenošene energije i mnogih drugih procesa. Proučavanje funkcije pretpostavlja izgradnju grafova, razjašnjenje njegovih svojstava, domena definicije i vrijednosti, intervalima povećanja i smanjenja. Važna točka u ovom procesu je pronalaženje ekstremnih točaka. O tome kako to ispravno i nastaviti dalje razgovor.

Na samom pojmu konkretnog primjera

U medicini, iscrtavanje funkcije može govoriti o napretku bolesti u pacijentovom tijelu, vizualno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da je vremenska osi ucrtana duž OX-osi i temperaturu ljudskog tijela duž OY-ove osi. Slika jasno pokazuje kako se ovaj pokazatelj naglo podiže, a zatim padne. Nije također teško primijetiti pojedinačne točke koje odražavaju trenutke kada funkcija, počevši od povećanja, počinje smanjivati ​​i obrnuto. To su ekstremne točke, to jest, kritične vrijednosti (maksimalno i minimalno) u ovom slučaju temperature pacijenta, nakon čega se promjene javljaju u njegovom stanju.

Kut nagiba

Na slici se lako može odrediti kako se derivat funkcije mijenja. Ako su ravne linije grafikona u tijeku vremena, onda je to pozitivno. A što su strmiji, to je važniji derivat, s obzirom da se nagib nagiba povećava. U razdobljima smanjenja, ova vrijednost uzima negativne vrijednosti, okrećući se na nulu na ekstremnim točkama, a derivativna ploha u potonjem slučaju privučena je paralelno s OX-osi.

Bilo koji drugi proces trebao bi biti tretiran na sličan način. Ali najbolji način povezivanja ovog koncepta jest prepoznati kretanje različitih tijela, grafički prikazanih na grafikonima.

prijedlog

Pretpostavimo da se neki objekt kreće duž ravne crte, ravnomjerno skupljajući brzinu. Tijekom tog razdoblja, promjena u koordinatama tijela grafički predstavlja određenu krivulju koju će matematičar zvati grana parabole. U tom slučaju, funkcija se stalno povećava, jer se koordinate koordinata mijenjaju svakim sekundama sve brže. Grafikon brzine pokazuje ponašanje derivata čija se vrijednost također povećava. Dakle, pokret nema kritičnih točaka.

To će trajati neograničeno. Ali ako tijelo odjednom odluči kočiti, zaustaviti se i krenuti u suprotnom smjeru? U tom će slučaju koordinate početi smanjivati. A funkcija će proći kritičnu vrijednost i od povećanja će se pretvoriti u smanjenje.

U ovom primjeru opet, možemo vidjeti da je extremum točka na grafikonu funkcije pojavljuju u trenucima kada prestaje biti monotonično.

Fizičko značenje derivata

Ranije opisano jasno je pokazalo da je derivat u osnovi brzina promjene funkcije. U ovoj specifikaciji, i njegovo fizičko značenje je zaključeno. Točke ekstremnosti su kritična područja na grafikonu. Oni se mogu otkriti i otkriti izračunavanjem vrijednosti derivata, koja se ispostavlja da je nula.

Postoji još jedan znak, što je dovoljan uvjet za krajnost. Derivat na mjestima infleksije mijenja svoj znak: znak „+” na „-” u području visoke i „-” na „+” u blizini na minimum.

Pokret pod utjecajem gravitacije

Zamislimo još jednu situaciju. Djeca su igrala loptu, bacila je na takav način da se počeo kretati pod kutom prema horizontu. U početnom trenutku, brzina ovog objekta bila je najveća, ali pod djelovanjem gravitacije počela se smanjivati, pri svakoj sekundi po istoj vrijednosti jednaka približno 9,8 m / s². To je vrijednost ubrzanja koja nastaje pod utjecajem zemaljske gravitacije tijekom slobodnog pada. Na Mjesecu bi bilo oko šest puta manje.

Grafikon koji opisuje kretanje tijela je parabola s granama koje pokazuju prema dolje. Kako pronaći ekstremne bodove? U ovom slučaju to je vrh funkcije, pri čemu brzina tijela (lopta) zauzima nulu. Derivat funkcije postaje nula. U tom je slučaju smjer, a time i brzina, obrnut. Tijelo se spušta svake sekunde brže i ubrzava za jednaku količinu - 9,8 m / s².

Drugi derivat

U prethodnom slučaju, grafikon modula brzine izvučen je kao prava linija. Ova linija je prva usmjerena prema dolje, budući da se vrijednost ove količine stalno smanjuje. Nakon što dosegne nulu u jednom trenutku vremena, indikatori ove veličine počinju se povećavati, a smjer grafičke slike brzinskog modula radikalno se mijenja. Sada je linija usmjerena prema gore.

Brzina, kao izvedenica vremenske koordinate, također ima kritičnu točku. U ovoj regiji, funkcija, u početku smanjuje, počinje se povećavati. Ovo je točka ekstremiteta derivata funkcije. U tom slučaju kut nagiba tangente postaje nula. A ubrzanje, kao drugi derivat vremenske koordinate, mijenja svoj znak s ";" na "+". I prijedlog jednako spora postaje ujednačeno ubrzan.

Grafikon ubrzanja

Sada razmotrite četiri brojke. Na svakoj od njih prikazuje se grafikon promjena tijekom vremena fizičke veličine kao što je ubrzanje. U slučaju "A" njegova vrijednost ostaje pozitivna i stalna. To znači da brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno raste. Ako zamislimo da će se taj predmet kretati na ovaj način za beskonačno dugo vrijeme, funkcija koja odražava ovisnost koordinate na vrijeme će se pokazati stalno povećavajući. Slijedi da nema kritičnih područja. I ekstremni bodovi na zemljište derivata, odnosno linearno varirajuće brzine, također su odsutni.

Isto vrijedi i za slučaj "B" s pozitivnim i stalno povećanim ubrzanjem. Istina, grafikoni za koordinate i brzinu ovdje će biti nešto složeniji.

Kad ubrzanje nestaje

S obzirom na crtež "B", možete promatrati vrlo različitu sliku koja karakterizira kretanje tijela. Njegova brzina će biti grafički prikazana paraboli s granama usmjerenim prema dolje. Ako nastavimo liniju koja opisuje promjenu ubrzanja do presjeka s osi x, i dalje, moguće je zamisliti da je prije kritične razine gdje će ubrzanje biti jednak nuli, brzina objekta će se povećati još sporije. derivat extremum točka koordinatnih funkcija će biti samo na vrhu parabole, nakon čega je tijelo će dramatično varirati gibanje lik i početi kretati u drugom smjeru.

U potonjem slučaju, "G", priroda pokreta nije moguće precizno odrediti. Ovdje je poznato samo da nema ubrzavanja tijekom određenog razdoblja koje se razmatra. Dakle, objekt može ostati na mjestu ili se gibanje događa pri konstantnoj brzini.

Zadatak dodavanja koordinata

Prijeđimo se na zadatke koji se često susreću u proučavanju algebre u školi i nude se za pripremu za USE. Sljedeća slika prikazuje grafički prikaz funkcije. Potrebno je izračunati zbroj bodova ekstremiteta.

To činimo za osi ordinata, određujući koordinate kritičnih područja gdje se promatra promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, nalazimo vrijednosti duž OX-osi za točke infleksije, a zatim nastavljamo dodavati dobivene pojmove. Očito je iz grafikona da uzimaju sljedeće vrijednosti: -8- -7- -5- -3- -2-1-. Ukupno, to iznosi do -21, što je odgovor.

Optimalna rješenja

Nije potrebno objasniti koliko je važno u provedbi praktičnih zadataka odabrati optimalno rješenje. Uostalom, postoji mnogo načina za postizanje cilja, a najbolji je izlaz, u pravilu, samo jedan. To je izuzetno potrebno, primjerice, u dizajnu brodova, letjelica i zrakoplova, arhitektonskih struktura kako bi pronašli optimalni oblik tih umjetnih objekata.

Brzine u vozilima u velikoj mjeri ovisi o nadležnom informacija kako bi se smanjio otpor su iskustva kad se kreće kroz vodu i zrak, od preopterećenja nastao pod utjecajem gravitacijske sile, te mnogim drugim pokazateljima. Brod na moru treba kakve kvalitete kao što je stabilnost tijekom oluje, minimalni je nacrt važan za riječni brod. Prilikom izračuna optimalnog dizajna, ekstremni bodovi na grafikonu jasno daju predodžbu o najboljem rješenju složenog problema. Zadaci takvog plana često se rješavaju u gospodarstvu, gospodarskim područjima, u raznim drugim životnim situacijama.

Od drevne povijesti

Problemi ekstremuma zauzimali su čak i drevni mudraci. Grčki znanstvenici uspješno razotkrivaju otajstvo područja i svezaka matematičkim proračunima. Prvi su to shvatili na ravnini različitih likova s ​​istim perimetrom, najveće područje uvijek ima krug. Slično tome, lopta je obdarena maksimalnim volumenom među preostalim predmetima u prostoru s istom površinom. Takve izuzetne osobnosti kao što su Arhimed, Euclid, Aristotel, Apollonius se posvetili rješavanju takvih problema. Pronalaženje ekstremnih točaka savršeno je bilo moguće Geroni, koji je, koristeći se izračunima, izgradio lukavne uređaje. To uključuje automatske strojeve, krećući se kroz paru, radeći na istim principima crpki i turbina.

Izgradnja Kartage

Postoji legenda, čija se ploča temelji na rješenju jednog od krajnjih problema. Rezultat poslovnog pristupa, koji je demonstrirao fenička princeza, koja je zatražila pomoć mudracima, bila je izgradnja Kartage. Zemljište za ovaj drevni i slavni grad predstavio je Didon (ime vladara) vođi jedne od afričkih plemena. Područje dodjele nije mu bilo prilično veliko, jer je pod ugovorom trebalo biti prekriveno kaubojom. No, princeza je zapovjedila njezinim vojnicima da ga izrežu u tanke trake i iz njih izgrade remen. Ispalo je da je tako dugo da pokriva mjesto gdje se cijeli grad uklapa u nju.

Porijeklo matematičke analize

I sada ćemo se kretati od antičkih vremena do kasnijeg doba. Zanimljivo je da je razumijevanje temelja matematičke analize potaknulo Keplera u 17. stoljeću da se sastaje s prodavačem vina. Trgovac je bio tako dobro upućen u njegovu profesiju da je lako mogao odrediti volumen napitka u bačvi, jednostavno ispuštajući željezni čvor tamo. Razmišljajući o takvoj znatiželji, poznati znanstvenik uspio je sam riješiti ovu dilemu. Ispada da su vješti bokovi tih vremena bili sposobni napraviti plovila na takav način da su na određenoj visini i radijusu prstena pričvrsnih prstena imali maksimalni kapacitet.

To je Keplera postalo prilika za daljnje razmišljanje. Bochary je došao do optimalnog rješenja metodom dugog pretraživanja, pogrešaka i novih pokušaja, prenoseći svoje iskustvo s generacije u generaciju. Ali Kepler je želio ubrzati proces i naučiti to učiniti u kratkom vremenu matematičkim proračunima. Sva njegova zbivanja, koju su pokupili kolege, pretvorili su se u sada poznate teoreme Fermata i Newton-Leibniza.

Zadatak pronalaženja maksimalnog područja

Zamislite da imamo žicu čija je duljina 50 cm. Kako izraditi pravokutnik s najvećom površinom?

Pokretanje rješenja treba nastaviti od jednostavnih i poznatih svim istinama. Jasno je da će nas oko 50 cm, a sastoji se i od udvostručenih duljina obiju strana. To znači da, nakon što je jedan od njih označen za "X", drugi se može izraziti kao (25 - X).

Stoga dobivamo područje jednako X (25 - X). Taj se izraz može prikazati kao funkcija koja uzima skup vrijednosti. Rješenje problema zahtijeva pronalaženje najviše njih, pa stoga treba pronaći ekstremne točke.

Da biste to učinili, nalazimo prvi derivat i označimo je na nulu. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X = 0.

Iz nje saznajemo da je jedna od stranaka X = 12,5.

Dakle, drugi: 25 - 12,5 = 12,5.

Ispada da će rješenje problema biti kvadrat sa stranom od 12,5 cm.

Kako pronaći maksimalnu brzinu

Pogledajmo još jedan primjer. Zamislimo da postoji tijelo čije pravocrtno gibanje opisuje jednadžba S = - t³ + 9t² - 24t - 8, gdje je putovana udaljenost izražena u metrima i vrijeme u sekundama. Potrebno je pronaći maksimalnu brzinu. Kako to učiniti? Preuzeto je brzina, to jest, prvi derivat.

Dobivamo jednadžbu: V = - 3t² + 18t - 24. Sada, kako bismo riješili taj problem, moramo ponovno pronaći ekstremne točke. To mora biti učinjeno na isti način kao u prethodnom problemu. Pronalazimo prvi derivat brzine i ravnamo ga na nulu.

Dobivamo: - 6t + 18 = 0. Stoga t = 3 s. Ovo je vrijeme kada brzina tijela uzima kritičnu vrijednost. Zamijenimo dobivene podatke u jednadžbu brzine i dobivamo: V = 3 m / s.

Ali kako razumjeti da je to maksimalna brzina, jer kritične točke funkcije mogu biti najveće ili najmanji vrijednosti funkcije? Za provjeru potrebno je pronaći drugi derivat brzine. Izražava se brojem 6 s minus znakom. To znači da je pronađena točka maksimalna. A u slučaju pozitivne vrijednosti, drugi derivat bi bio minimalan. Stoga je pronađeno rješenje točno.

Navedeni primjeri samo su dio onih koji se mogu riješiti znajući kako pronaći ekstremne točke funkcije. Zapravo, postoji još mnogo toga. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti za ljudsku civilizaciju.