Distribucijske funkcije slučajne varijable. Kako pronaći funkciju distribucije slučajne varijable

Da biste pronašli distribucijske funkcije slučajnih varijabli i njihovih varijabli, potrebno je proučiti sve značajke ovog područja znanja. Postoji nekoliko različitih metoda za pronalaženje razmatranih vrijednosti, uključujući promjenu varijable i generiranje zakretnog momenta. Distribucija je koncept temeljen na elementima kao što su varijance, varijacije. Međutim, one karakteriziraju samo stupanj amplitude raspršivanja.

Važnije funkcije slučajnih varijabli su one koje su povezane i nezavisne, te su jednako raspoređene. Na primjer, ako je X1 težina slučajno odabranog pojedinca iz muške populacije, X2 je težina drugog, ..., a Xn je težina druge osobe iz muške populacije, tada je potrebno znati kako se služi slučajna funkcija X. U ovom slučaju, primjenjujemo klasični teorem, koji se naziva središnji teorem granica. To nam omogućuje da pokažemo da za veliku funkciju slijedi standardna distribucija.

Funkcije jedne slučajne varijable

Središnji granični teorem osmišljen je da približi diskretne vrijednosti, kao što su binomi i Poisson. Distribucijske funkcije slučajnih varijabli smatraju se prije svega na jednostavnim vrijednostima jedne varijable. Na primjer, ako je X konstantna slučajna varijabla koja ima vlastitu distribuciju vjerojatnosti. U ovom slučaju, istražujemo kako pronaći funkciju gustoće Y pomoću dva različita pristupa, naime metoda funkcije distribucije i varijabilne varijacije. Prvo se uzima u obzir samo one-to-one vrijednosti. Zatim morate promijeniti tehniku ​​mijenjanja varijable da biste pronašli njegovu vjerojatnost. Konačno, moramo naučiti kako inverzna funkcija kumulativne distribucije može pomoći modeliranju slučajnih brojeva koji slijede određene sekvencijske sklopove.

Metoda distribucije razmatranih vrijednosti

Metoda funkcije raspodjele vjerojatnosti slučajne varijable je primjenjiva kako bi se pronašla njegova gustoća. Prilikom korištenja ove metode izračunava se kumulativna vrijednost. Zatim, razlikovanjem, možemo dobiti gustoću vjerojatnosti. Sada, u prisutnosti metode distribucijske funkcije, možemo razmotriti još nekoliko primjera. Neka X bude kontinuirana slučajna varijabla s određenom gustoćom vjerojatnosti.

Koja je funkcija gustoće vjerojatnosti x2? Ako pogledamo ili iscrtavamo funkciju (iznad i s desne strane) y = x2, možemo primijetiti da je to sve veći X i 0

U posljednjem primjeru, velika je opreznost korištena za indeksiranje kumulativnih funkcija i gustoće vjerojatnosti, bilo s X ili Y, kako bi se naznačilo kojoj su slučajnoj varijabli pripadali. Na primjer, u pronalaženju kumulativne funkcije raspodjele, Y je dobio X. Ako je potrebno pronaći slučajnu varijablu X i njegovu gustoću, onda je jednostavno potrebno razlikovati.

Tehnika za promjenu varijabli

Neka je X kontinuirana slučajna varijabla koju daje funkcija raspodjele s zajedničkim nazivnikom f (x). U tom slučaju, ako stavite vrijednost y u X = v (Y), dobivate vrijednost x, na primjer v (y). Sada, moramo nabaviti funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable Y. Kada se prva i druga jednakost odvija iz definicije kumulativnog Y. Treća jednadžba je zadovoljena jer dijelovi funkcije za koje je u (X) le-y, također je istina da X le-v (Y). I potonji se provodi kako bi se odredila vjerojatnost u kontinuiranoj slučajnoj varijabli X. Sada moramo uzeti derivat FY (y), kumulativnu funkciju raspodjele Y, kako bi se dobila gustoća vjerojatnosti Y.

Generalizacija za funkciju smanjenja

Neka X bude neprekinuta slučajna varijabla s uobičajenim f (x) definiranim preko c1

Da bi se riješio ovaj problem, moguće je prikupiti kvantitativne podatke i koristiti empirijsku kumulativnu funkciju distribucije. Posjedujući ove informacije i privlačeći ih, potrebno je kombinirati uzorke sredstava, standardnih odstupanja, medijskih podataka i tako dalje.

Slično tome, čak prilično jednostavan probabilistički model može imati ogroman broj rezultata. Na primjer, ako okrenete novac 332 puta. Tada je broj rezultata dobivenih iz udruživanja veći od onog googlea (10100) - broj, ali ne manje od 100 kvintila puta elementarne čestice u poznatom svemiru. Nije zanimljivo analizu koja daje odgovor na svaki mogući rezultat. Treba zahtijevati jednostavniji koncept, kao što je broj glava ili najdulji trčanje repova. Da biste se usredotočili na pitanja od interesa, napravljen je određeni rezultat. Definicija u ovom slučaju je sljedeća: slučajna varijabla je stvarna funkcija s prostorom vjerojatnosti.

Raspon S slučajne varijable ponekad se zove državni prostor. Dakle, ako je X vrijednost koja se razmatra, tada je N = X2, exp crarr-X, X2 + 1, tan2X, bXc i tako dalje. Posljednji od njih, zaokruživanje X na najbliži cijeli broj, naziva se funkcijom seksa.

Funkcije distribucije

Jednom kad se odredi željena funkcija razdiobe slučajne varijable x, pitanje obično postaje: "Koje su šanse da X pada u neki podskup vrijednosti B?". Na primjer, B = {neparni}, B = {1} ili više B = {između 2 i 7} ukazati rezultate koji su X, slučajni vrijednost varijable, podskup A. Prema tome, u prethodnom primjeru može biti opisati događaje kako slijedi.

{X je neparan broj}, {X je veći od 1} = {X> 1}, {X je između 2 i 7} = {2

Random varijable i funkcije distribucije

Dakle, moguće je izračunati vjerojatnost da funkcija razdiobe slučajne varijable x uzima vrijednosti u intervalima oduzimanjem. Morate razmišljati o uključivanju ili isključivanju krajnjih točaka.

Zovemo slučajnu varijablu diskretnu ako ima konačni ili brojčani beskonačni državni prostor. Dakle, X je broj glava na tri nezavisna okretaja pomaknutog kovanog novca, koja raste s vjerojatnosti p. Potrebno je pronaći kumulativnu funkciju raspodjele diskretne slučajne varijable FX za X. Neka X bude broj vrhova u zbirci od tri karte. Tada je Y = X3 kroz FX. FX počinje na 0, završava na 1 i ne smanjuje s povećanjem vrijednosti x. Kumulativna funkcija FX raspodjele diskretne slučajne varijable X je konstantna, osim skokova. U skoku, FX je kontinuiran. Dokazati izjavu ispravnog kontinuiteta funkcije distribucije od svojstva vjerojatnosti pomoću definicije. Zvuči ovako: konstanta slučajna varijabla ima kumulativni FX koji se može razlikovati.

Da bismo pokazali kako se to može dogoditi, možemo dati primjer: cilj s radijusom jedinice. Navodno. Strelica je ravnomjerno raspoređena na određeno područje. Za neke lambda-> 0. Dakle, distribucijske funkcije neprekinutih slučajnih varijabli poveavaju glatko. FX ima svojstva funkcije distribucije.

Čovjek čeka autobus na autobusnoj stanici dok ne stigne. Odlučujući za sebe da će odbiti, kada čekanje dođe do 20 minuta. Ovdje je potrebno pronaći kumulativnu funkciju raspodjele za T. Vrijeme kada će osoba još uvijek biti na autobusnoj stanici ili neće otići. Unatoč činjenici da je kumulativna funkcija distribucije definirana za svaku slučajnu varijablu. Svejedno će se često upotrebljavati i druge karakteristike: masa za diskretnu varijablu i funkciju raspodjele slučajne varijable. Obično se vrijednost izlazi kroz jednu od ovih dviju vrijednosti.

Masovne funkcije

Te se vrijednosti smatraju sljedećim svojstvima, koje imaju zajednički (masovni karakter). Prva se temelji na činjenici da vjerojatnosti nisu negativne. Drugi slijedi iz opažanja da je skup za sve x = 2S, stanje prostora za X, oblikuje razdiobu probabilističke slobode X. Primjer: bacanje neobjektivnog novca čiji su rezultati neovisni. Možete nastaviti s obavljanjem određenih radnji dok ne dobijete glavobolju. Neka X označava slučajnu varijablu koja daje broj repova ispred prve glave. I p označava vjerojatnost u bilo kojoj akciji.

Dakle, funkcija masovne vjerojatnosti ima sljedeće karakteristike. Budući da pojmovi čine numerički slijed, X se naziva geometrijska slučajna varijabla. Geometrijska shema c, cr, cr2,. ,,,, crn ima zbroj. I, posljedično, sn ima ograničenje za n 1. U ovom slučaju, beskonačni iznos je granica.

Gornja masovna funkcija stvara geometrijsku sekvencu s odnosom. Dakle, prirodni brojevi a i b. Razlika u vrijednostima u funkciji distribucije jednaka je vrijednosti funkcije mase.

Razmatrane vrijednosti gustoće imaju sljedeću definiciju: X je slučajna varijabla čija FX distribucija ima derivat. FX, zadovoljavajući Z xFX (x) = fX (t) dt-1, zove se funkcija gustoće vjerojatnosti. A se zove kontinuirana slučajna varijabla. U osnovnom teoremu izračuna, funkcija gustoće je derivat raspodjele. Možete izračunati vjerojatnost izračunavanjem određenih integrala.

Budući da se podaci prikupljaju iz nekoliko opažanja, treba razmotriti više od jedne slučajne varijable da bi simulirale eksperimentalne postupke. Slijedom toga, skup ovih vrijednosti i njihova zajednička distribucija za dvije varijable X1 i X2 znači promatranje događaja. Za diskretne slučajne varijable određene su masene funkcije zglobne vjerojatnosti. Za kontinuirano, smatramo fX1, X2, gdje je zajednička gustoća vjerojatnosti zadovoljena.

Nezavisne slučajne varijable

Dvije slučajne varijable X1 i X2 su nezavisne ako su sva dva događaja povezana s njima isti. Riječima, vjerojatnost da se dva događaja {X1 2 B1} i {X2 2 B2} pojavljuju istovremeno, y je jednaka proizvodu gore navedenih varijabli, da se svaka od njih odvija pojedinačno. Za nezavisne diskretne slučajne varijable postoji zajednička masa vjerojatnosti, koja je proizvod ograničavajućeg volumena iona. Za kontinuirane slučajne varijable koje su nezavisne, zajednička funkcija gustoće vjerojatnosti je produkt vrijednosti granične gustoće. Zaključno, n nezavisna promatranja x1, x2 ,. ,,, xn, koji proizlaze iz nepoznate gustoće ili masovne funkcije f. Na primjer, nepoznat parametar u funkcijama za eksponencijalnu slučajnu varijablu koja opisuje vrijeme čekanja autobusa.

Simulacija slučajnih varijabli

Glavni cilj ovog teorijskog polja je osigurati alate potrebne za razvoj inferencijalnih postupaka temeljenih na čvrstim načelima statističke znanosti. Stoga je jedna od najvažnijih aplikacija softvera sposobnost generiranja pseudo-podataka za simulaciju stvarnih informacija. To omogućuje testiranje i poboljšanje metoda analize prije nego ih se mora koristiti u stvarnim bazama podataka. To je potrebno za istraživanje svojstava podataka putem modeliranja. Za mnoge često korištene obitelji slučajnih varijabli, R daje naredbe za njihovo stvaranje. Za druge okolnosti potrebne su nam metode za modeliranje slijeda nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku distribuciju.

Diskretne slučajne varijable i naredbeni obrazac. Naredba uzorka koristi se za stvaranje jednostavnih i slojevitih slučajnih uzoraka. Kao rezultat toga, ako se unese niz x, uzorak (x, 40) odabire 40 unosa iz x na takav način da sve veličine od 40 imaju istu vjerojatnost. Ovo koristi zadanu naredbu R za uzorkovanje bez zamjene. Također ga možete koristiti za simulaciju diskretnih slučajnih varijabli. Da biste to učinili, morate osigurati stanje prostora u vektoru x i masovnoj funkciji f. Poziv za zamjenu = TRUE znači da se uzimanje uzorka događa s zamjenom. Zatim se uzorka (x, n, replace = TRUE, prob = f) koristi za dobivanje uzorka od n nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku masovnu funkciju f.

Utvrđeno je da je 1 najmanja zastupljena vrijednost, a 4 najveća od svih. Ako je prob = f izostavljen, onda će se uzorak jednoliko odabrati od vrijednosti u vektoru x. Provjerite simulaciju protiv masovne funkcije koja je generirala podatke, obraćajući pažnju na znak dvostruke jednakosti, ==. I prepričavamo zapažanja koja uzimaju svaku moguću vrijednost za x. Možete napraviti stol. Ponovite ovo za 1000 i usporedite simulaciju s odgovarajućom masenom funkcijom.

Ilustrirajući transformaciju vjerojatnosti

Prvo simuliraju homogene distribucijske funkcije slučajnih varijabli u1, u2,. ,,, un na intervalu [0, 1]. Oko 10% brojeva treba biti unutar [0,3, 0,4]. To odgovara 10% simulacija u intervalima [0,28, 0,38] za slučajnu varijablu s naznačenom funkcijom raspodjele FX. Slično tome, oko 10% slučajnih brojeva treba biti u intervalima [0,7, 0,8]. To odgovara 10% simulacija u intervalu [0.96, 1.51] slučajne varijable s funkcijom distribucije FX. Te vrijednosti na x osi mogu se dobiti uzimajući povratak iz FX. Ako je X kontinuirana slučajna varijabla s gustoćom fX pozitivno posvuda u svojoj domeni, onda se funkcija distribucije strogo povećava. U ovom slučaju, FX ima inverznu funkciju FX-1, poznatu kao kvantilna funkcija. FX (x) u samo ako je x FX-1 (u). Pretvorba vjerojatnosti slijedi iz analize slučajne varijable U = FX (X).

FX ima raspon između 0 i 1. To ne može poprimiti vrijednost ispod 0 ili iznad 1. Za vrijednosti nesigurnosti između 0 i 1. Ako je moguće simulirati U, potrebno je simulirati slučajna varijabla s raspodjela funkcija FX kroz kvantilnih. Uzeti derivat, da se vidi da je gustoća u rasponu 1. Budući da je slučajna varijabla U ima konstantnu gustoću preko raspona mogućih vrijednosti, kaže se da je jednolika u intervalu [0, 1]. Modeliran je u R pomoću runif naredbe. Identitet se zove transformacija vjerojatnosti. Možete vidjeti kako to radi u primjeru s palicom za pikado. X između 0 i 1, funkciju distribucije u FX = (x) = x 2, a time i kvantilnih funkcije x = FX-1 (u). Moguće je simulirati nezavisna promatranja udaljenosti od središta piksela, stvarajući tako uniformne slučajne varijable U1, U2. ,, Un. Funkcija distribucije i empirijska se temelje na 100 simulacija distribucije dart odbora. Za eksponencijalni slučajnih varijabli, vjerojatno u FX = (x) = exp (1 - - x), te, stoga, x = 1 - (1 - ln u). Ponekad se logika sastoji od ekvivalentnih izjava. U ovom slučaju morate kombinirati dva dijela argumenta. Identitet s križanjem sličan je za sve 2 {S i i} S umjesto neke vrijednosti. Unija Ci jednaka je državnom prostoru S i svaki je par međusobno isključiv. Budući da je Bi podijeljen na tri aksioma. Svaka se provjera temelji na odgovarajućoj vjerojatnosti P. Za svaki podskup. Korištenje identiteta kako biste bili sigurni da odgovor ne ovisi o tome jesu li uključeni krajnje točke intervala.

Eksponencijalna funkcija i njegove varijable

Za svaki rezultat, u svim slučajevima, u konačnici se koristi druga svojstva kontinuiteta vjerojatnosti, što se smatra aksiomatskim. Zakon raspodjele funkcije slučajne varijable ovdje pokazuje da svaki ima svoje rješenje i odgovor.