Gdje se primjenjuje metoda najmanje kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata (OLS) omogućuje procjenu različitih veličina pomoću rezultata skupova mjerenja koja sadrže slučajne pogreške.

Karakterističan za OLS

Glavna ideja ove metode je da se, kao kriterij za točnost rješenja problema, uzima u obzir zbroj kvadratnih pogrešaka, koji se traži da se minimizira. Pomoću ove metode možete primijeniti i numerički i analitički pristup.

Konkretno, kao numerička implementacija, metoda najmanjih kvadrata uključuje provođenje onoliko dimenzija nepoznate slučajne varijable što je više moguće. Štoviše, što više izračuna, točnije rješenje. Na ovom skupu izračuna (početni podaci) dobiva se još jedan skup pretpostavljenih rješenja, od kojih je odabrano najbolje. Ako je skup rješenja parametriziran, tada se metoda najmanjih kvadrata svodi na pronalazak optimalne vrijednosti parametara.

Kao analitički pristup implementaciji OLS-a na skup početnih podataka (dimenzija) i pretpostavljenog skupa rješenja, neki funkcionalna ovisnost (funkcionalno), što se može izraziti formulom dobivenom kao hipoteza koja zahtijeva potvrdu. U ovom slučaju, metoda najmanjih kvadrata smanjuje se za pronalaženje minimalne funkcionalnosti na skupu kvadratnih pogrešaka izvornih podataka.

Imajte na umu da ne sami pogreške, već kvadratići pogrešaka. Zašto? Činjenica je da su često odstupanja mjerenja od točnih vrijednosti pozitivni i negativni. Pri određivanju prosjeka pogreške mjerenja jednostavna sumacija može dovesti do pogrešnog zaključka o kvaliteti procjene, budući da će međusobno uništenje pozitivnih i negativnih vrijednosti smanjiti uzorke snage skupova mjerenja. I, posljedično, točnost procjene.

Da bi se to moglo dogoditi i sažeti kvadrate odstupanja. Štoviše, kako bi se izjednačio dimenziju izmjerene količine i konačne procjene, od zbroja pogrešnih kvadrata, kvadratni korijen.

Neke aplikacije MNC-a

MNC se široko koristi u različitim područjima. Na primjer, u vjerojatnost i matematičku statistiku metoda se koristi za određivanje takve karakteristike slučajnih varijabli, kao što su standardne devijacije, koji određuje širinu raspona vrijednosti slučajne varijable.

U matematička analiza i različitim područjima fizike koji koriste ovaj aparat za dobivanje ili potvrdu hipoteza, OLS se posebno koriste za procjenu približne reprezentacije funkcija definiranih na numeričkim skupovima pomoću jednostavnijih funkcija koje prihvaćaju analitičke transformacije.

Druga primjena ove metode je razdvajanje korisnog signala od buke koja mu se nameće u problemima filtracije.

Druga područja primjene MNC-a su ekonometrija. Ovdje je ova metoda toliko široko korištena da su za nju identificirane neke posebne izmjene.

Većina problema ekonometrije, na ovaj ili onaj način, smanjuje se na rješavanje sustava linearnih ekonometrijskih jednadžbi koje opisuju ponašanje određenih sustava - strukturnih modela. Glavni element svakog takvog modela je vremenska serija, koja je zbirka nekih karakteristika čije vrijednosti ovise o vremenu, kao io brojnim drugim čimbenicima. U tom slučaju, može postojati korespondencija između unutarnjih (endogenih) karakteristika modela i vanjskih (egzogenih) svojstava. Ta se korespondencija obično izražava u obliku sustava linearnih ekonomskih jednadžbi.

Karakteristična značajka takvih sustava je postojanje međusobnih odnosa između pojedinih varijabli koje s jedne strane kompliciraju, as druge - redefiniraju. Koji je razlog neizvjesnosti prilikom odabira rješenja takvih sustava. Dodatni faktor koji komplicira rješenje takvih problema je ovisnost parametara modela na vrijeme.

Glavni cilj problema ekonometrije je identificiranje modela, odnosno određivanje strukturnih odnosa u odabranom modelu, kao i procjena brojnih parametara.

Obnova zavisnosti u vremenskoj seriji skladanja modela može se izvesti, osobito, uz pomoć izravnih OLS-a i nekih njegovih modifikacija, kao i niz drugih metoda. Posebne izmjene MNC-a u rješavanju takvih problema posebno su razvijene kako bi se riješili određeni problemi koji proizlaze iz procesa numeričkog rješenja sustava jednadžbi.

Konkretno, jedan od tih problema odnosi se na prisutnost početnih ograničenja na parametre koji se trebaju vrednovati. Na primjer, prihod privatnog poduzeća može se potrošiti na potrošnju ili na njegov razvoj. Dakle, zbroj dijelova ove dvije vrste troškova zna se da je 1. U sustavu ekonometrijskih jednadžbi, ti dijelovi mogu unijeti neovisno jedan o drugom. Stoga je moguće procijeniti različite vrste trošenja koristeći OLS, bez uzimanja u obzir početnog ograničenja, a zatim ispraviti dobiveni rezultat. Ova metoda rješavanja naziva se indirektna metoda najmanjeg kvadrata.

Neizravna metoda najmanjih kvadrata (CIOC) koristi se za izričito određeni strukturni model. KIOC algoritam preuzima sljedeće radnje:

1) preoblikovanje strukturnog modela u jednostavniji, smanjeni oblik uvođenjem dodatnog odnosa;

2) procjena uz pomoć uobičajenog OLS-a smanjenog koeficijenata za svaku jednadžbu pojednostavljenog modela;

3) dobiveni koeficijenti jednostavnog oblika modela transformiraju se u parametre početnog strukturnog modela.

Valja napomenuti da se za superidentificirane sustave KMNC-ovi ne koriste jer je u ovom slučaju nemoguće odrediti jednoznačne procjene parametara strukturnog modela. Za takve modele može se koristiti još jedna modifikacija najmanjeg kvadrata: metoda u dva stupnja najmanjih kvadrata (KDOM).

DMNK algoritam je sljedeći:

1) na temelju pojednostavljenog modela, izračunati za superidentificiranu jednadžbu vrijednosti internih varijabli koje se nalaze na desnoj strani jednadžbe;

2) zamijenite dobivene vrijednosti varijabli na mjestu odgovarajućih stvarnih varijabli u početnom modelu i ponovno primijenite konvencionalne najmanje kvadrate.

Detaljan opis neizravnih i dvostupanjskih metoda najmanjih kvadrata prikazan je u mnogim udžbenicima o ekonometrijskim metodama. Posebnost tih metoda, kao i uobičajenog OLS-a, je njihova univerzalnost, koja im omogućuje da se koriste za procjenu koeficijenata bilo kojeg strukturnog modela u bilo kojem domene.