Kako izračunati područje: formule, primjeri izračuna

U mnogim područjima svakodnevnog života, geometrija pomaže ljudima odgovoriti na važna pitanja i rješavati probleme života. Najmanje 4 tisuće godina, ovo je znanje već iskorišteno, na primjer, u starom Egiptu za upravljanje zemljištem. I danas mnoge profesije, od modnih dizajnera do arhitekata, trebaju osnovna geometrijska znanja kako bi znali izračunati površinu.

Površina tijela i njenog područja

To je mjera koliko je prostora unutar ravnog oblika. Općenito, površina je zbroj svih područja geometrijskih oblika koji pokrivaju površinu objekta. Izračunajte površinu tijela često je potrebna u svakodnevnom životu, na primjer, kako biste saznali koliko je boja trebala kupiti da pokrije zid, ili škriljevca za popravak krova kuće.

Ljudi su dugo naučili utvrditi područje ravnih geometrijskih oblika korištenjem mreže. Sastoji se od činjenice da se na izmjerenoj slici primjenjuje šaržirana rešetka jednostavnih kvadrata, na primjer, 1x1 cm. Zatim je lako izračunati kvadratni prostor, računajući broj mrežnih kvadrata unutar oblika. U tom slučaju svaki kvadrat ima širinu od 1 cm i visinu od 1 cm, a površina ovog kvadrata je jedan kvadratni centimetar.

Korištenje rešetke za brojanje kvadrata u obliku vrlo je jednostavan način određivanja područja, ali se ne može koristiti za određivanje područja složenih oblika. Područje takvih složenih objekata može se izračunati jednostavnim matematičkim formulama. Najjednostavniji i najčešće korišteni izračuni u životu su kvadratići i pravokutnici, a vi morate znati kako izračunati površinu u metrima.

Često u stvarnosti, izračuni mogu biti složenija. Na primjer, tipično tlocrt prostorije ne može se sastojati od jednostavnog pravokutnika ili kvadrata. U tom slučaju, prije izračuna ukupne površine, potrebno je podijeliti mjerenu složenu površinu u nekoliko najjednostavnijih geometrijskih slika.

Jednostavan izračun pravokutnika

Ako se usko gledate, možete vidjeti mnoge primjere pravokutnika. Prema definiciji, pravokutnik je četverostrani poligon čiji su kutovi pod pravim kutom od 90 stupnjeva. Izračunajte površinu tijela pravokutnika jednostavna matematička operacija koju najčešće koristi osoba u svakodnevnom životu. Zašto je važno poznavati formulu područja? Mnogi objekti i okoliš koji okružuje osobu imaju pravokutni oblik: kuću, zidove, pod, krov. I vrlo često morate znati svoje područje za izgradnju ili popravak.

Ako pravokutnik ima duljinu b i širinu h, možemo pronaći područje S množenjem širine po svojoj duljini. Stoga: S = bxh.

Primjer. Kako izračunati površinu pravokutnika ako je poznato strane i širine, na primjer, 4 cm dužine i širine 3 cm, a zatim: S = 12 = 4x3.

Odgovor: 12 cm².

Trg je vrsta pravokutnika s jednakim kutovima i stranama.

S = bxb = b².

Primjer. Ako trg ima stranice od 3 cm, možemo pronaći S, kvadriranje bočne vrijednosti. Stoga imamo: S = 3x3 = 9.

Odgovor: 9 cm².

Paralelogram formule

Parallelogram je četverokutni poligon s dva para paralelnih stranica iste duljine. Prema definiciji, pravokutnik je također paralelogram, ali s jednakim kutovima. Područje paralelograma izračunato je na isti način kao i za pravokutnik (visina x širina), no važno je shvatiti da visina ne znači dužinu vertikalnih strana, već udaljenost između strana.

Na slici se može vidjeti da je visina udaljenost između dvije paralelne strane paralelograma, smještene pod pravim kutom između njih. S = ADz. S = bxh, gdje AD = b je baza, h je visina.

Primjer. Ako paralelogram ima podnožje od 3 cm i visina od 2 cm, područje S je jednako proizvodu baze po visini. Stoga imamo: S = 3x2 = 6.

Odgovor: 6 cm².

Osnova trapeza

Razmotrite kako pravilno izračunati područje trapeza. Trapezium je četverokutni poligon s jednim parom paralelnih strana. Ako dvije ne-paralelne strane imaju istu duljinu, oblik se naziva jednodijelni ili obični trapez. Ako ne-paralelne strane imaju različite duljine, naziva se ne-isosceles. Međutim, usprkos ovoj dodatnoj složenosti u definiciji, područje pogrešnog trapeza može se izračunati jednostavnom formulom.

Mjerenja za izračunavanje područja trapeza:

1. Poravnajte ravni rub kutnjaka duž kraće dvije paralelne strane.
2. Upotrijebite odvijač za crtanje linije okomito od podnožja trapeza do suprotne paralelne strane.
3. Izmjerite udaljenost visine pomoću ravnala.
4. Izmjerite duljinu kraće paralelne strane.
5. Izmjerite duljinu dulje paralelne strane.
6. Da biste pronašli područje trapeza, najprije morate izračunati prosječnu vrijednost dviju usporednih strana: (a + b) / 2.
7. Područje jednodijelnog (ili bilo kojeg) trapeza je jednako produktu prosječne dužine baze i vrha prema visini.
8. Područje trapeza: S = 1/2 × h × (a + b).

Treba napomenuti da je visina trapeza uvijek okomita na bazu, baš kao i visina paralelograma. Primjer: a = 3 cm, b = 5 cm, h = 4 cm. S = 4 × (3 + 5) / 2 = 16.

Odgovor: 16 cm².

Vrste trokuta

Trokut je poligon koji ima tri strane i može se dodijeliti sljedećim vrstama:

• Ravnopravni trokut ima jednaku stranu i jednake kutove.
• Isoscelesni trokut ima dvije jednake strane i dva jednaka kuta.
• Svestrani trokut ima tri nejednake strane i tri nejednake kutove.
• Pravokutni trokut ima jedan pravi kut od 90 stupnjeva.
• Akutni kutni trokut ima sve kuteve manje od 90 stupnjeva.
• Ukočeni trokut ima jedan kut veći od 90 stupnjeva.

Područje bilo kojeg trokuta određeno je formulama.

1. Kako izračunati površinu trokuta ako su poznata visina i baza trokuta:

• S = 1frasl-2 × a × h, gdje: h je visina, a a baza.
• S = 1frasl-2xa × b × sinfalfa, gdje: a, b su bilo koje dvije strane, alfa- je kut između njih.
• S = p × r, gdje: p = (a + b + c) / 2 - semiperimetar, a, b, c - tri strane, r - polumjer kruga.

Područje jednakostraničnog trokuta:

• S = a²hradic-3 frasl-4, gdje a = b = c.

Područje jednodijelnog trokuta:

• S = lfrSll-4xboksadeka- (4a²-b²).

2. Kako izračunati površinu trokuta ako se daju dvije strane i kut između njih:

• S = 1frasl-2xaxbxsinC = 1frasl-2xbxcxsinA = 1frasl-2xaxcxsinB.

Primjer 1: Pronađite S trokut, čija strana je 14 cm, a visina 10 cm.

Otopina je: b = 14 cm, h = 10 cm, A = 1frasl-2х14х10 = 70

Odgovor: 70 cm².

Primjer 2. Pronađite područje trokuta čije su strane i kut između njih dani kako slijedi: a = 5 cm i b = 7 cm, C = 45 stupnjeva.

Rješenje: Površina trokuta = 1frasl-2xaxbxsin 45.

Područje = 1frasl-2 × 5 × 7 × 0,707 (od sin45 = 0,707)

Područje = 1frasl-2 × 24.745 = 12.3725

Odgovor: 12,3725 cm².

Primjer 3. Pronađite područje (u m²) jednodijelnog trokuta, čije su strane 10 m, a osnovica 12 m.

Rješenje: Područje jednodijelnog trokuta definira:

A = 1-fcnil-4-oksobiciklo (4a²-b²) A = 1frasl-4x12oksad- (4x (10)²-(12)²) A = 48

Odgovor: 48 m².

Primjer 4. Pronađite površinu trokuta, čije su strane jednako 8, 9 i 11. Sve su jedinice u metrima (m).

Rješenje: Stranice a = 8, b = 9 i c = 11. Prema formuli Girona područje trokuta može se odrediti pomoću slijedeće formule: A = radic- (sx (sa) x (sb) x (sc)). Prije svega, potrebno je odrediti s, što je trokut semiperimeter: s = 1frasl-2 (a + b + c) = 2 1frasl-(8 + 9 + 11) = 14.

Sada, umetanjem vrijednosti semiperimeter Heron formulom, može se odrediti područje trokuta: A = radic- (sx (sa) x (sb) x (sc)). A = radikalno (14x (14-8) x (14-9) x (14-11)). A = radikalno- (1260) = 35.50

Odgovor: 35,50 m².

Mjerenje dijamantnog područja

Rombus je posebna vrsta paralelograma s jednakim stranama i jednakim suprotnim kutovima. Područje rombusa može se odrediti pomoću tri metode.

1. Način visine baze. Prvo odaberite jednu stranu kao bazu, budući da imaju istu duljinu. Zatim odredite visinu - okomicu od odabrane baze do suprotne strane.

• Područje je produkt ova dva količinama i određen je formulom: S = a × V, naznačen time, da: S - površina romba, h - visina romba, AB = BC = AD-DC-a - stranu romba.

2. Metoda dijagonala. Još jedna jednostavna formula za područje rombusa, kada su poznate duljine dijagonala. Područje je polovica proizvoda dijagonala.

• Kao formula: S = 1 / 2xACxBD, gdje: S-dijamantno područje, AC-velika dijagonalna, BD - manja dijagonalna.

3. Upotreba trigonometrije. U trigonometriji postoji prikladna formula kada su poznate strane duljine i bilo kojeg kuta:

• S = a2 × sin alfa, gdje: S je područje dijamanta, B = BC = AD = DC = a je strana dijamanta, alfa je akutni kut, beta- - tupi kut.

Površina kruga

Krug je oblik koji se sastoji od zatvorene zakrivljene linije. Svaki dio linije nalazi se na istoj udaljenosti od središta regije, zvanog radijus. Od davnih vremena poznato je kako izračunati područje kruga ako je određen radijus. Područje kruga izračunava se formulom S = pi-xr², gdje: S je područje kruga,

pi- je broj pi (3.1415), r je polumjer kruga.

Da biste pronašli područje kruga, izvršavamo sljedeće radnje. Zabilježite određeni polumjer ili promjer vrijednosti kao r ili d. Kako izračunati područje kruga ako je promjer dano? To je prilično jednostavno, potrebno je izračunati polumjer dijeljenjem promjera za 2, te pomnožiti podatke pomoću kalkulatora ili ručno. Odgovor će biti u kvadratnim jedinicama.

Problem: Pronađite područje kruga s radijusom od 10 cm.

Rješenje: Radius kruga = 10 cm, područje kruga = 3.1416 × 10 × 10 = 314.16.

Odgovor: 314,16 cm².

Pronađite područje kruga promjera 15 cm.

Rješenje: Krug promjera = 15 cm, radijus = 15/2 = 7,5 cm, područje kruga = 3,14 h7,5 h7,5 = 176,625 = 176,63 (krug do 2 decimalna mjesta).

Odgovor: 176,63 cm².

Jednostavni geometrijski oblici krovova

Prije izvođenja krovnih radova morate znati kako izračunati površinu krova kako biste utvrdili koliko je materijala potrebna. Njegova količina treba uvijek uzeti s marginom i dodati barem 10 posto ukupne površine krova na obračun građevinskog otpada.

Prije sheme za izračunavanje krova je podijeljen u jednostavnih geometrijskih oblika, u ovom primjeru, dva trapeza i dva trokuta. Kako izračunati krovnu površinu za trapezoidne elemente? Područje izračunava se pomoću sljedeće formule: S = (a + b) xv / 2, gdje: a - širina donjeg nadstrešnice - 10 m, b - širina grebena - 7 m, h - visina - 5 m.

Za trokutaste elemente, koristi se formula: S = axh / 2, gdje: a - širina rampe duž donjeg presjeka - 7 m, h - visina rampe - 3 m.

Redoslijed mjerenja:

1. Izmjerite duljinu, širinu i visinu svake geometrijske slike krova, uključujući i vjetrobranska stakla. Ove informacije možete pristupiti u izvornom zgradi kuće ili, ako je krovna površina relativno niska i ravna, možete ga mjeriti sami. Ako se vlasnik kuće ne može sigurno penjati na krov, proračun se može obaviti vanjskim mjerenjima zgrade.
2. Pomnožite dužinu i širinu svake trokutaste ili trapezoidne ravnine zasebno.
3. Izračunajte područje za simetrične trokutaste ravnine množenjem duljine baze trokuta (najduže strane) visine (udaljenost od sredine najduže strane do suprotnog kuta).
4. Zatim podijelite ukupno za 2 da biste dobili rezultat u četvornom metru. S = axh / 2 = 7x3 / 2 = 10,5 m².
5. Izračunajte područje za trapezium množenjem širine donjeg presjeka i širine grebena visinom (udaljenost od sredine najduže strane do suprotnog kuta).
6. Zatim podijelite ukupno za 2 da biste dobili rezultat u četvornom metru.
7. Višestruko područje od 0,1 da se dobije 10-postotni margina je dodatak za krovište S = (a + b) xv / 2 = (10 + 7) * 5/2 = 42,5 m².
8. Sklopite područja svih figura zajedno. S = 10,5 + 10,5 + 42,5 + 42,5 = 106 m².
9. Rezultat je ukupno krovno područje od 106 m², s marginom od 116 m².

Instrumentalna mjerenja kod kuće

Za mjerenje područja kuće potrebni su alati za izračunavanje vrlo precizno, što može predstavljati osnovu za popravak, kupnju ili kućno osiguranje. Prije nego što izračunate područje, trebate uzeti mjeru trake, olovku i notepad na kojem možete nacrtati jednostavni dijagram kućnog plana. Može se preuzeti iz putovnice tvrtke ili drugih projektnih dokumenata. S posljednjim izvorom morate biti oprezni, te brojke možda neće uvijek biti točne, na primjer, neki popravci možda neće biti uključeni u njih. Dakle, to će biti točnije obaviti mjerenje područja sebe.

Kako izračunati površinu kuće ručno? Ako želite površinu mjeriti ručno, najbolje je mjeriti vanjske zidove, ne zaboravite li različite zgrade, prostorije za grijanje, gornje podove, pojedinačne zgrade ili garaže. Kada se napravite jednostavna osnovna mjerenja, područje se izračunava množenjem duljine kuće po širini.

Ovisno o obliku plana gradnje, možda ćete ga morati slomiti u jednostavne geometrijske oblike. U ovom primjeru, kuća je 9 metara do 12 metara, dajući nam 108 četvornih metara. Garaža je 6 metara do 3 metra, što je 18 četvornih metara, a ukupna površina je 126 četvornih metara.

Mjerenja podnih popravaka

Kako izračunati podnožje prije popravka, na primjer, mijenjanje linoleuma ili slikanja? Za kvadratnu ili pravokutnu sobu prvo morate mjeriti duljinu i širinu prostorije. Zatim umnožite duljinu i širinu, dobivamo duljinu x širinu = područje. Dakle, ako je soba dugačka 3 metra i duga 5 metara, ukupna površina je 15 četvornih metara.

Ovo mjerenje može se koristiti za izračunavanje potrebne količine žbuke, brtvila, linoleuma, koje vlasnik namjerava koristiti za svoj projekt. Da biste izračunali područje odabira materijala, obično trebate dodati 10% sigurnosni faktor: jednostavno razmnožite područje za 1,1, a zatim okrugli do cijele vrijednosti.

U primjeru, kada je ukupna površina 15 m², bit će potrebno naručiti dodatnu količinu pločica i žbuke za 16,5 četvornih metara. Ako soba nije pravokutna, morate ga podijeliti na dva ili više elementarnih geometrijskih oblika kako biste izračunali ukupnu površinu.

Kalkulator za pogrešnu figuru

Vrlo često izmjereni prostor ima vrlo složen oblik, koji se uvijek ne može razbiti u jednostavne elemente.

Da biste jednostavno definirali takvo područje, trebali biste koristiti aplikaciju SketchAndCalc Internet. To je kalkulator područja nepravilnih slika za bilo koji oblik slike. Ovo je jedini kalkulator prostora koji može izračunati na učitanim slikama, ima jedinstvenu funkciju koja korisniku omogućuju mjerenje crteža bilo koje slike prije crtanja perimetra. Tako se lako izračunavaju kutovi ili krivulje nepravilne figure.

Jednostavno rečeno, ako ima slika koja se može skinuti ili napraviti kartu adresu za pretraživanje, možete izračunati površinu nepravilnog oblika, bez obzira koliko je složena, jednostavno crtanje perimetar polja. Kalkulator čak može sažeti izračune nekoliko područja zajedno crtanjem slojeva. Nakon izračuna prve površine, možete dodati novi sloj crteža koji vam omogućuje neograničen broj izračuna površine.

Rezultati kalkulatora područja prikazani su u palacima i metrima, povećavajući njegovu korisnost i eliminirajući potrebu za konverzijom. To zajedno s točnim alatima za crtanje i povećanje osigurava da se površine svake pogrešne figure točno izračunavaju. Također može postaviti točne oblike poligona s fiksnim kutovima i točnim linijama.

Alat s ograničenim uzorkom povezan je s uobičajenim uglovima, a linija duljine može se uređivati ​​ručno pomoću tipkovnice. Primjena je korisna ako izmjereno područje ima pravu stranu ili duljinu. Još jedna jedinstvena značajka tvrtke SketchAndCalc TM je da ima napredni alat za crtanje za netočne oblike. Neke aplikacije kalkulatora prostora omogućuju vam pretraživanje karte.

SketchAndCalc to vrlo točno, koristeći traženje za geografsku duljinu i širinu. Bez obzira je li izmjereno područje na poljoprivrednom zemljištu ili na moru, korisnik će potrošiti manje vremena u potrazi i više vremena za izračunavanje površine teritorija. To je univerzalni alat koji se koristi u mnogim industrijama, u građevinarstvu, vrtlarstvu. Također ga koriste entuzijasti za poboljšanje svojih domova i lokalnog područja. Kalkulator terena ili kalkulator terena također je pronašao svoje korisnike među zemljoposjednicima. Sada znaju kako lako i brzo izračunati površinu parcele.

Međutim, osim tih zajedničke koristi, mnogi rade u području obrazovanja, medicine, znanosti i istraživanja zahtijevaju izračun površine nepravilnog oblika, kao što su stanične membrane i drugih objekata koje se nalaze u biologiji, i rado koristiti ovu aplikaciju.

Za primjenu matematike u svakodnevnom životu nije dovoljno biti u stanju računati jedan plus jedan. Bitan aspekt okoliša su geometrijske strukture, tj. Prikaz svakodnevnih predmeta u pravokutnom, kvadratnom, kružnom ili trokutastom obliku. Morate biti u stanju izračunati potrebnu površinu.

Osim toga, geometrijski oblici koriste se u izradi dijagrama, dijagrama, prezentacija. Zato je tako važno biti u mogućnosti napraviti različite izračune, uključujući izračunavanje područja.