Zbroj kutova trokuta. Teorem o zbroju kutova trokuta

Trokut je poligon s tri strane (tri ugla). Najčešće, strane su označene malim slovima koja odgovaraju velikim slovima koja označavaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati s vrstama tih geometrijskih figura, teoremom koji određuje koliko je zbroj kutova trokuta jednak.

Vrste kutova

Postoje sljedeće vrste poligona s tri vrha:

• Kutna, sa svim uglovima oštro;
• pravokutni, s jednim pravim kutom, s ova strana, njegovi generatori nazivaju se katetamijem, a strana koja se nalazi suprotno od pravog kuta naziva se hipotenuzom;
• tupo, kad je netko glup kut;
• isosceles, u kojem su dvije strane jednake, i oni su pozvani lateralno, a treći je baza trokuta;
• Ravnopravni, s tri strane jednake strane.

nekretnine

Dodijelite osnovna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:

• nasuprot veće strane uvijek postoji veći kut i obratno;
• nasuprot jednakim stranama su jednaki kutovi i obratno;
• svaki trokut ima dva oštra kutka;
• vanjski kut je veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji nije uz njega;
• zbroj svih dvaju kutova uvijek je manji od 180 stupnjeva;
• vanjski je kut jednak zbroju preostalih dvaju kutova, koji ne utječu na nju.

Teorem o zbroju kutova trokuta

Teorem tvrdi da ako dodamo sve kutove određene geometrijske figure koja se nalazi na Euklidovoj ravnini, njihova će suma biti 180 stupnjeva. Pokušajmo dokazati ovaj teorem.

Neka nam bude proizvoljan trokut s vrhovima CMN-a. Kroz vrh M skrećemo ravno paralelno s linijom CN (ova ravna crta također se naziva euklidska linija). Valja napomenuti točku A, tako da su točke K i A uređen s različitih strana linije MN. Mi smo dobili isti kut AMS i MUF, koji, kao i interijer, leže poprečno u obliku presijecaju MN u kombinaciji s izravnim CN i MA, koji su paralelni. Iz toga slijedi da je zbroj kutova trokuta, koji se nalazi na vrhovima M i N jednaka je veličini kuta CMA. Sva tri kutovi se sastoje od zbroja jednak zbroju kutova KMA i MCS. Budući da su podaci unutarnji kutovi relativni sided paralelne linije CL i CM MA na presijecaju njihova suma je 180 stupnjeva. Dokazan je teorem.

rezultat

Iz gornjeg teorema slijedi slijedeća korelacija: svaki trokut ima dva akutna kuta. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da ta geometrijska figura ima samo jedan akutni kut. Također se može pretpostaviti da nitko od uglova nije oštar. U tom slučaju mora postojati barem dva kuta čija je vrijednost jednaka ili veća od 90 stupnjeva. No, tada će zbroj kutova biti veći od 180 stupnjeva. I to ne može biti, jer prema teoremu zbroj kutova trokuta je 180 ° - nema više ni manje. To je bilo potrebno dokazati.

Imovina vanjskih kutova

Koja je zbroj kutova trokuta koji su vanjski? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti primjenom jedne od dvije metode. Prvo je da je potrebno pronaći zbroj kutova, koji se uzimaju jedan po svakom vrhuncu, tj. Tri ugla. Druga podrazumijeva da morate pronaći zbroj svih šest uglova na vrhovima. Prvo ćemo se baviti prvom opcijom. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih uglova - dva za svaki vrh. Svaki par ima jednak kut, jer su vertikalni:

∟ 1 = ∟ 4, ∟ 2 = ∟ 5, ∟ 3 = ∟ 6.

Nadalje, poznato je da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dviju unutarnjih koji se ne presijecaju s njim. dakle,

∟ 1 = ∟ + +, ∟ 2 = ∟ A +, ∟ 3 = ∟ + +.

Iz toga se ispostavlja da zbroj vanjskih kutova, koji se uzima jedan po svakom vrhuncu, biti jednak:

∟1 + ∟2 + = ∟3 ∟A + ∟S ∟A ∟V + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Uzevši u obzir činjenicu da je zbroj kutova 180 stupnjeva, možemo tvrditi da je A + BB + CC = 180 °. A to znači da ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Ako se primijeni druga opcija, zbroj šest uglova bit će dvostruko veći. To jest, zbroj vanjskih uglova trokuta bit će:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Pravokutni trokut

Koja je zbroj uglova pravokutnog trokuta koji su oštri? Odgovor na ovo pitanje, opet, slijedi iz teorema, koji tvrdi da kutovi u trokutu u sume su 180 stupnjeva. I naša izjava (imovina) zvuči ovako: u pravokutnom trokutu, oštri kutovi u iznosu daju 90 stupnjeva. Dajte nam dokazati svoju istinitost. Dajte nam trokut CMN-a, za koji je θ = 90 °. Potrebno je dokazati da ∟K + M = 90 °.

Dakle, prema teoremu o zbroju kutova ∟K + M + H H = 180 °. U našem stanju, rečeno je da je θ = 90 °. Tako se ispostavlja, ∟ K + M + 90 ° = 180 °. To jest, ∟ K + MM = 180 ° - 90 ° = 90 °. To je ono što bismo trebali dokazati.

Pored gore opisanih svojstava pravokutnog trokuta, možete dodati sljedeće:

• Kutovi koji leže na nogama su oštri;
• Hipotenzija je trokutastog više nego bilo koja od nogu;
• zbroj nogu je veći od hipotenuse;
• katet trokuta, koji leži nasuprot kutu od 30 stupnjeva, je pola veličine hipotenuse, tj. jednaka polovici.

Kao drugo svojstvo ove geometrijske figure može se razlikovati Pitagorejski teorem. Ona tvrdi da je u trokutu s kutom od 90 stupnjeva (pravokutni) zbroj kvadrata nogu jednak broju hipotenuse.

Zbroj kutova jednodijelnog trokuta

Ranije smo rekli da je isosceles poligon s tri vertices koji sadrže dvije jednake strane. Poznato je takvo svojstvo dane geometrijske figure: uglovi na svojoj osnovi su jednaki. Dajmo to dokazati.

Uzmi trokut CMN, koji je jednoznačno, CN je njegova baza. Potrebno je dokazati da ∟K = H. Pretpostavimo da je MA simetrala našeg trokuta CMN. Trokut MKA s prvim znakom jednakosti jednak je trokutu MNA. Naime, prema stanju, daje se CM = NM, MA je zajednička strana, 1 = ☐2, budući da je MA simetrala. Upotrebljavajući činjenicu jednakosti ovih dvaju trokuta, možemo tvrditi da ∟K = H. Dakle, teorem je dokazan.

No, mi smo zainteresirani, što je zbroj kuteva trokuta (jednakokračnog). Budući da u tom pogledu nema na značajke ćemo početi od teorem prethodno pojašnjeno. To je, možemo reći da ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ili 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kao ∟K = ∟N). To neće dokazati vlasništvo, kao i teorem o zbroju kutova trokuta je ranije dokazano.

Uz svojstva koja se razmatraju oko kutova trokuta, takva važna izjava također sadrži:

• u isosceles visina trokuta, koji je izostavljen na bazi, je medijan, simetrala kuta između jednakih strana i također osi simetrije njegov temelj;
• Medijan (bisectrixes, visine) koji su privučeni na strane ove geometrijske figure su jednaki.

Ekvilateralni trokut

Također se zove pravo, to je trokut, u kojem su sve strane jednake. Stoga su i kutovi jednaki. Svaki od njih je 60 stupnjeva. Dajte nam dokazati ovo svojstvo.

Pretpostavimo da imamo trokut CMN-a. Znamo da KM = HM = KH. To znači da je, u skladu s objekta kutova koji se nalaze na dnu u jednakostraničnog trokuta ∟K = ∟M = ∟N. Budući da, prema zbroju kutova trokuta teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° C, a zatim 3 x = 180 ° ∟K ili ∟K = 60 °, 60 ° ∟M =, ∟N = 60 °. Dakle, tvrdnja je dokazana.Kao što se može vidjeti iz gore navedenog dokaza na temelju teorema, zbroj kutova jednakostraničnog trokuta, kao zbroj kutova bilo kojeg drugog trokuta, je 180 stupnjeva. Nije nužno dokazati ovaj teorem.

Postoje i takva svojstva koja su karakteristična za jednakostraničan trokut:

• medijan, simetrala, visina u takvoj geometrijskoj slici se podudara, a njihova dužina se izračunava kao (x radic-3): 2;
• ako opisujemo krug oko danog poligona, njegov će radijus biti jednak (x radic-3): 3;
• ako upišemo krug u jednakostraničan trokut, tada će njegov polumjer biti (x radic-3): 6;
• područje ove geometrijske figure izračunava se formulom: (a2 x radic-3): 4.

Ukočeni trokut

Prema definiciji tupog trokuta, jedan od njegovih kutova je u rasponu od 90 do 180 stupnjeva. Ali s obzirom da su druga dva uglova ovog geometrijskog lika oštre, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stupnjeva. Slijedom toga, teorem o zbroju kutova trokuta radi pri izračunavanju zbroja kutova u tupom trokutu. Ispostavlja se, možemo čvrsto tvrditi, oslanjajući se na gornji teorem, da je zbroj kutova tupog trokuta 180 stupnjeva. Opet, ovaj teorem ne treba ponavljati.