Cramerova metoda i njegova primjena

Metoda Cramer je jedna od točnih metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Njegova je točnost posljedica upotrebe odrednica matrice sustava, kao i određenih ograničenja koja se nameću tijekom dokaza teorema.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi s koeficijentima koji pripadaju, na primjer, skupu R-real brojeva, od nepoznatih x1, x2, ..., xn je skup izraza oblika

ai2 x1 + ai2 x2 + hellip-ain xn = bi za i = 1, 2, hellip-, m, (1)

gdje su aij, bi pravi brojevi. Pozivaju se svaki od tih izraza linearna jednadžba, aij - koeficijenti za nepoznate, bez bi - koeficijenata jednadžbi.

Otopina sustava (1) je n-dimenzionalni vektor x ° = (x1 °, x2 °, hellip-, xn °) kada zamjenjuju svaki red u sustavu umjesto nepoznatog x1, x2, ..., xn, jednakost.

Za sustav se kaže da je povezan ako ima barem jedno rješenje i nije kompatibilan ako se njegovo rješenje poklapa s praznim skupom.

Treba imati na umu da, kako bi se pronašli rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi pomoću Cramerove metode, matrice sustava moraju biti kvadratna, što u biti znači isti broj nepoznatih i jednadžbi u sustavu.

Dakle, kako bi se koristila Cramerova metoda, što je matrica sustavi linearnih algebarskih jednadžbi i kako je napisan. Drugo, razumjeti ono što se zove determinanta matrice i znati vještine njegovog izračuna.

Pretpostavimo da posjedujete ovo znanje. Divno! Onda se samo trebate sjetiti formula koje određuju metodu Cramera. Da bismo pojednostavili pamćenje, koristimo sljedeću oznaku:

• Det je glavna odrednica matrice sustava;

• deti je odrednica matrice dobivene iz glavne matrice sustava ako zamijenimo i-stup stupca matrice sa kolonom, čiji su elementi desni strane sustava linearnih algebarskih jednadžbi;

• n je broj nepoznatih i jednadžbi u sustavu.

Tada se pravilo Cramera za računanje i-te komponente xi (i = 1, ... n) n-dimenzionalnog vektora x može biti napisano u obliku

xi = deti / Det, (2).

Det je strogo nonzero.

Jedinstvenost rješenja sustava kada je kompatibilna osigurava da glavna odrednica sustava bude nula. Inače, ako je zbroj (xi), kvadrat, strogo pozitivan, SLAE s kvadratnom matricom neće biti konzistentan. To se može dogoditi, posebno, kada se barem jedan od deti razlikuje od nule.

Primjer 1. Riješite trodimenzionalni sustav LAA pomoću Cramerovih formula.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Rješenje. Napišimo liniju matrice sustava po retku, gdje je Ai i-ti red matrice.
A1 = (1,2), A2 = (5 1), A3 = (3-1).
Kolona slobodnih koeficijenata b = (31 29 10).

Glavna odrednica Det sustava je
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Za izračunavanje det1 koristimo supstituciju a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. tada
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Slično tome, za izračunavanje det2 koristimo supstituciju a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 i prema tome izračunati det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Zatim možete provjeriti da det2 = -108, a det3 = -135.
Prema Cramerovim formulama, nalazimo x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

odgovor: x ° = (3,4,5).

Na temelju uvjeta za primjenjivost ovog pravila, Cramerova metoda rješavanja sustava linearnih jednadžbi može se upotrijebiti neizravno, na primjer, s ciljem istraživanja sustava mogućeg broja rješenja ovisno o vrijednosti nekog parametra k.

Primjer 2. Odredite za koje vrijednosti parametra k nejednakost | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<= 0 ima točno jedno rješenje.

Rješenje.
Ova nejednakost, zbog definicije modula funkcije, može se zadovoljavati samo ako su oba izraza istodobno nula. Stoga se ovaj problem smanjuje za pronalaženje rješenja linearnog sustava algebarskih jednadžbi

kx-y = 4,
x + ky = -4.

Rješenje ovog sustava je jedinstveno ako je njegova glavna odrednica
Det = k ^ {2} + 1 nije nula. Očito, ovaj uvjet vrijedi za sve stvarne vrijednosti parametra k.

odgovor: za sve stvarne vrijednosti parametra k.

Za probleme ovog tipa, mnogi praktični problemi s terena matematike, fizike ili kemije.