Gaussova metoda: primjeri rješenja i posebnih slučajeva

Metoda Gaussa, također nazvana metodom korak po korak uklanjanja nepoznatih varijabli, nazvana je po uglednom njemačkom znanstveniku K.F. Gauss, koji je tijekom svog života dobio neslužbeni naziv "kralja matematike". Međutim, ova je metoda bila poznata davno prije rođenja europske civilizacije, već u prvom stoljeću. Prije Krista. e. drevni kineski znanstvenici su ga koristili u svojim spisima.

Gaussova metoda je klasična metoda rješavanja sustavi linearnih algebarskih jednadžbi (Slough). Idealna je za brzo rješavanje omeđenih matrica.

Sama metoda se sastoji od dva poteza: izravna i obrnuta. Ravno trčanje je sekvencijalno lijevanje SLAU na trokutasti oblik, tj. Vrijednosti nula koje se nalaze ispod glavne dijagonale. Preokrenuti potez podrazumijeva sekvencijalno pronalaženje vrijednosti varijabli, izražavajući svaku varijablu kroz prethodnu.

Da bi naučili kako primijeniti Gaussovu metodu u praksi je jednostavno, dovoljno je znati elementarna pravila umnožavanja, dodavanja i oduzimanja brojeva.

Da bismo demonstrirali algoritam za rješavanje linearnih sustava ovom metodom, razmotrimo jedan primjer.

Dakle, riješite pomoću Gaussove metode:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Moramo se riješiti varijable x u drugoj i trećoj liniji. Da biste to učinili, dodamo prvo, pomnoženo sa -2 i -4. Dobivamo:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Sada umnožite drugu retku za 5 i dodajte ga trećoj:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Doveli smo naš sustav na trokutasto pogled. Sada se okrećemo. Počinjemo s posljednjom linijom:
-3z = -18,
z = 6.

Druga linija:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Prva linija:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
h = -3

Zamjenjujući dobivene vrijednosti varijabli u početnim podacima, uvjereni smo u točnost rješenja.

Ovaj primjer može se riješiti mnogim drugim zamjenama, ali odgovor bi trebao biti isti.

Dogodilo se da na vodećoj prvoj liniji postoje elementi s premalim vrijednostima. Nije zastrašujuće, ali prilično je složeno. Rješenje ovog problema je Gaussova metoda s izborom glavnog elementa po stupcu. Njegova se bit sastoji od sljedećeg: u prvom retku nalazi se maksimalni element, stupac u kojem se nalazi nalazi se izmjenjuje s prvim stupom, tj. Naš maksimalni element postaje prvi element glavne dijagonale. Slijedi standardni postupak obračuna. Ako je potrebno, postupak za zamjenu stupaca može se ponoviti.

Još jedna modificirana Gaussova metoda je Jordan-Gaussova metoda.

Koristi se za rješavanje kvadratnog SLAU, pri pronalaženju obrnutog matrice i ranga matrice (broj redova koji nisu nula).

Bit ove metode je da se izvorni sustav pretvara u jedinicu matrice pomoću transformacija s daljnjim pretraživanjem vrijednosti varijabli.

Njegov algoritam je sljedeći:

1. Sustav jednadžbi reduciran je, kao u Gaussovoj metodi, u trokutasti oblik.

2. Svaka linija podijeljena je s određenim brojem tako da se dobije jedinica na glavnoj dijagonalnoj ravnini.

3. Posljednji redak pomnoži se s određenim brojem i oduzima od pretposljednjeg takvim izračunom da dobivamo 0 na glavnoj dijagonalnoj.

4. Operacija 3 se redom slijedi za sve redove dok se na kraju ne formira matrica.