Definicija i veličina Grahamovog broja

Na riječ "beskonačnost" svaka osoba ima svoje udruge. Mnogi privlače svoju maštu more koje nadilazi horizont, dok drugi imaju sliku beskrajnog zvjezdanog neba pred njihovim očima. Beskonačnost matematike, koja je navikla na rad s brojevima, drugačije je različita. Pokušavali su već stoljećima pronaći najveće, fizičke veličine potrebne za mjerenje. Jedan od njih je Grahamov broj. Koliko nula u njemu i za ono što se koristi, ovaj članak će reći.

Beskonačno veliki broj

U matematici je tzv. Varijabla x_n, ako za bilo koji unaprijed dodijeljeni pozitivni broj M možemo odrediti prirodni broj N tako da za sve brojeve n veći od N, nejednakost | x_n| | > M. Međutim, nitko, na primjer, cijeli broj Z ne može se smatrati beskonačno velikim jer će uvijek biti manji od (Z + 1).

Nekoliko riječi o "divovima"

Najveći broj koji ima fizičko značenje smatra se:

• 10⁸⁰. Ovaj broj, koji se obično naziva quinquivigillillion, uzima se za označavanje približnog broja kvarkova i leptona (sitnih čestica) u svemiru.
• 1 Gugol. Takav broj u decimalnom sustavu kalkulatora napisan je kao jedinica s 100 nula. Prema nekim matematičkim modelima, od Velikog praska, prije eksplozije masivne crne rupe bi trebao ići od 1 do 1,5 Googol godina, nakon što je naš svemir ulazi u posljednju fazu svoga postojanja tj. E. Može se pretpostaviti da je taj broj fizička što znači.
• 8,5 x 10¹⁸⁵. Planckova konstanta je 1.616199 x 10^-35 m, tj. u decimalnom zapisu izgleda kao 0.00000000000000000000000000000616199 m. U 1 kubičnom metru. postoji oko 1 googol Planck duljina. Procjenjuje se da u našem svemiru može stati oko 8,5 x 10¹⁸⁵ Planck duljine.
• 2^{77 232 917} - 1. Ovo je najveći od poznatih premijera. Ako je njegova binarna reprezentacija je prilično kompaktan oblik, kako bi ga predstavili u obliku decimalnog će zahtijevati ništa manje nego - 13 milijuna znakova. Pronađeno je 2017. godine u okviru projekta pronalaženje Mersenneovih brojeva. Ako će ljubitelji nastaviti raditi u tom smjeru, s trenutnom stupnju razvoja računalne tehnologije, oni su vjerojatno da će naći Mersenne premijera naručiti više u bliskoj budućnosti od 2^{77 232 917} - 1, iako će ta sretna osoba dobiti 150.000 dolara.
• Gugopleks. Evo, sve samo uzeti 1 i dodati nakon nula u iznosu od 1 googol. Taj broj možete upisati kao 10 ^ 10 ^ 100. U decimalnom obliku nemoguće je opisati, kao da sav prostor u svemiru ispuniti listova papira, od kojih je svaka 0 do veličine „vordovsky” font 10, au ovom slučaju su pisane će se dobiti samo polovicu svih 0 nakon 1. za broj googolplex ,
• 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. Ovo je broj koji pokazuje broj godina kroz koje, prema teorem Poincarea Naš svemir kao rezultat slučajnih kvantnih oscilacija će se vratiti u stanje bliske današnjice.

Kako su se pojavili Grahamovi brojevi

Godine 1977., poznati popularizator znanosti Martin Gardner u časopisu Scientific American objavio je bilješku o Grahamovom dokazu jednog od problema teorije Ramsaya. U njemu je nazvao granicu koju je utemeljio znanstvenik, najveći broj koji se ikada koristio u ozbiljnim matematičkim razmišljanjima.

Tko je Ronald Lewis Graham

Znanstvenik, koji je već preko 80 godina, rođen je u Kaliforniji. Godine 1962. primio je doktorski studij iz matematike u Zagrebu Sveučilište u Berkeleyu. Za 37 godina radio je u Bellovu laboratoriju, a kasnije se preselio u ATT Labs. Znanstvenik je aktivno surađivao s jednim od najvećih matematičara 20. stoljeća Palom Erdesh i dobio je brojne prestižne nagrade. U znanstvenoj bibliografiji Grahama postoji više od 320 znanstvenih djela.

Sredinom sedamdesetih, znanstvenik je bio zainteresiran za problem povezan s teorijom Ramseya. S njegovim dokazom utvrđena je gornja granica rješenja, koja je vrlo velik broj, a potom je dobila ime po Ronaldu Grahamu.

Problem s Hypercubeom

Da biste shvatili bit Grahamovog broja, najprije morate shvatiti kako je primljena.

Znanstvenik i njegov kolega Bruce Rothschild bavili su se sljedećim problemom:

• Postoji n-dimenzionalna hiperkuba. Sve parove njegovih vrhova povezane su tako da potpuni grafikon s 2ⁿ hvatišta. Svaki od njegovih rubova obojen je plavom ili crvenom bojom. Bilo je potrebno kako bi pronašli ono što je najmanji broj vrhova mora biti u hiperkocke da svaki takav bojanje sadrži kompletan jednobojne pod-polja s 4 vrhovi leže u istoj ravnini.

Rješenje

Graham i Rothschild dokazao da ima problem rješenje Nrsquo-, ispunjava C6 ⩽ Nrsquo- ⩽N gdje je N - precizno definirana, vrlo velik broj.

Donja granica za N naknadno je potvrđena drugih istraživača dokazali da N treba biti veća od ili jednaka 13. Prema tome, izraz za najmanji broj vrhova hiperkocke zadovoljava uvjete gore prikazane, dobivenog oblika 13 ⩽ Nrsquo-⩽ N.

Odaziv odaziva Knuth

Prije davanja definicije Grahamovog broja, trebali biste se upoznati s metodom simboličke reprezentacije, budući da niti jedan decimalni niti binarni zapis nisu apsolutno prikladni za to.

U ovom trenutku, da biste predstavljali tu vrijednost, uobičajeno je koristiti Knuthovu strelicu. Prema njezinim riječima:

^b= "strelica gore" b.

Za rad višestrukog eksponencijanja umetnut je zapis:

"strelica prema gore" "gore strelica" b = a^b= "kula koja se sastoji od a u količini od b komada."

A za pentaciju, to jest simboličku oznaku ponovnog uzdizanja prethodnog operatora, Knut je koristio 3 strelice.

Koristeći takvu opciju za Grahamov broj, imamo "sekvence strelice", međusobno ugniježđene, u broju od 64 komada.

ljestvica

Njegova poznata broj koji pobuđuje maštu i širi granice ljudskog uma, da ga stavi izvan svemira, Graham i njegovi kolege su ga primili kao gornja granica za broj n u dokaz hiperkocke problema iznesenih. Zamisliti koliko je velika ljestvica na običnoj osobi iznimno je teška.

Pitanje broja znakova, ili ponekad pogrešno rečeno, od nula u Grahamovom broju, zanimljivo je za gotovo svima koji prvi put čuju ovu veličinu.

Dovoljno je reći da se radi o brzom rastu, koji se sastoji od 64 članova. Čak joj je prvi pojam - to je nemoguće zamisliti, jer se sastoji od n „Towers”, koji se sastoji od 3 do. Već njegov „prizemlje” 3 trokrevetne je 7 625 597 484 987, t. E. veći od 7 milijardi, kako bi bili sigurni o 64. katu (ne-članove!). Dakle, reći točno ono što je broj Graham, u ovom trenutku to je nemoguće, jer za njen izračun nije dovoljno kombinaciji kapacitet svim računalima koje postoje u svijetu danas.

Je li snimka prekinuta?

U procesu dokazivanja Kruskalovog teorema, Grahamov broj je "odbačen s pijedestal". Znanstvenik je predložio sljedeći zadatak:

• Postoji beskonačan niz konačnih stabala. Kraskal je dokazao da postoji uvijek dio nekog grafikona, koji je i dio većeg grafikona i njegove točne kopije. Ta izjava ne postavlja nikakve sumnje jer je očito da u beskonačnosti uvijek postoji precizno ponovljena kombinacija.

Kasnije, Harvey Friedman pomalo suziti taj problem uzimajući u obzir samo one aciklički grafovi (stabala) koji su specifični za koeficijenta i nije više od (i + k) vrhova. On je odlučio saznati što bi trebao biti broj acikličkih grafova da s ovom metodom problema uvijek mogao naći podstablo koje će biti uložen u drugom stablu.

Kao rezultat istraživanja o ovom pitanju, otkriveno je da N, ovisno o k, raste ogromnom brzinom. Konkretno, ako je k = 1 tada je N = 3. Međutim, kada je k = 2, A već je dostigao 11. Najzanimljivije počinje kada je k = 3. U tom slučaju, N brzo „leti” i doseže vrijednost koja daleko premašuje broj Graham. Zamisliti koliko je to veliko, dovoljno je napisati broj koji je Ronald Graham izračunao kao G64 (3). Tada će vrijednost Friedmann-Kruskal (FinKraskal (3)) imati nalog G (G (187196)). Drugim riječima, mega-magnituda koji se postiže beskonačno više nego nezamislivo velikog broja Grahama. Istovremeno, čak je i divovski broj puta manji od beskonačnosti. O ovom konceptu ima smisla detaljnije razgovarati.

beskraj

Sada kada smo objasnili što je Grahamov broj na vašim prstima, trebate razumjeti značenje koje je uloženo i stavljeno u ovaj filozofski koncept. Uostalom, "beskonačnost" i "beskonačno veliki broj" u određenom kontekstu mogu se smatrati identičnim.

Najveći doprinos proučavanju ovog pitanja donio je Aristotel. Veliki mislilac antike podijelio je beskonačnost u potencijal i stvarnu. Pod tim potonjem mislio je na stvarnost postojanja beskrajnih stvari.

Prema Aristotelu, izvori ideja o ovom temeljnom konceptu su:

• vrijeme;
• odvajanje količina;
• pojam granice i postojanje nečega izvan svojih granica;
• neiscrpnost kreativne prirode;
• razmišljanje, koje nema ograničenja.

U suvremenom tumačenju beskonačnosti ne postoji kvantitativna mjera, tako da potraga za najvećim brojem može trajati zauvijek.

zaključak

Je li moguće uzeti u obzir metaforu "Look into Infinity" i Grahamov broj u smislu sinonim? Umjesto toga, i da i ne. Oba su nemoguće zamisliti, čak i sa najjačom maštom. Međutim, kao što je već spomenuto, ne može se smatrati "najviše, najviše". Druga je stvar da u ovom trenutku vrijednosti veće od Grahamovog broja nemaju utvrđeno fizičko značenje.

Osim toga, ona nema takva svojstva beskonačnog broja yen-, poput:

• infin- + 1 = infin-;
• postoji beskonačan broj i parnih i parnih brojeva;
• infin - 1 = infin-;
• broj neparnih brojeva je točno polovica svih brojeva;
• infin + infin- = infin-;
• infin- / 2 = infin-.

Ukratko: sam Grahamov broj veliki broj u praksi matematičkih dokaza, prema Guinnessovoj knjizi rekorda. Međutim, postoje brojevi koji su mnogo puta veći od ove vrijednosti.

Najvjerojatnije, u budućnosti će postojati potreba za više „divovi”, pogotovo ako je osoba koja će ići izvan našeg Sunčevog sustava, ili izmisliti nešto nezamislivo na sadašnjoj razini naše svijesti.