Vrste matrica. Korak po korak od matrice. Smanjivanje matrice u stupnjevitu i trokutastu formu

Matrica je poseban predmet matematike. Prikazuje se u obliku pravokutnog ili kvadratnog stola, preklopljenog iz određenog broja redaka i stupaca. U matematici postoji širok raspon vrsta matrica, koji se razlikuju po veličini ili sadržaju. Broj svojih redaka i stupaca nazivaju se nalozi. Ti se objekti koriste u matematici za organiziranje snimanja sustava linearnih jednadžbi i prikladno traženje njihovih rezultata. Jednadžbe koje koriste matricu su riješene metodom Karl Gaussa, Gabriela Kramera, maloljetnika i algebara, kao i mnogim drugim metodama. Osnovna vještina kod rada s matricama je smanjenje standardnog prikaza. Međutim, za početak, pogledajmo koje matrice matematike mogu pružiti.

Zero tip

Sve komponente ove vrste matrice su nula. U međuvremenu, broj redaka i stupaca potpuno je drugačiji.

Kvadratni tip

Broj stupaca i redaka ove vrste matrice je isti. Drugim riječima, to je tablica oblika "kvadrat". Broj njegovih stupaca (ili redaka) naziva se redoslijedom. Posebni slučajevi su postojanje matrice drugog reda (matrica od 2x2), četvrtog reda (4x4), desetog (10x10), sedamnaestog (17x17) i tako dalje.

Vector-stobets

Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta matrica, koja sadrži samo jedan stupac, koji uključuje tri numeričke vrijednosti. Ona predstavlja niz slobodnih pojmova (brojevi neovisni o varijablama) u sustavima linearnih jednadžbi.

Vektorski niz

Pogled sličan prethodnoj. Sastoji se od tri numerička elementa, koji su organizirani u jednom retku.

Dijagonalni tip

Numeričke vrijednosti u dijagonalnom obliku matrice uzimaju samo komponente glavne dijagonale (označene zelenom bojom). Glavna dijagonala počinje s elementom u gornjem desnom kutu i završava s brojem u trećem stupcu trećeg retka. Preostale komponente su nula. Dijagonalni tip je samo kvadratna matrica nekog reda. Među matricama dijagonalnog oblika, može se odabrati skalarna matrica. Sve njegove komponente imaju iste vrijednosti.

Matrica identiteta

Podvrsta dijagonalne matrice. Sve njegove numeričke vrijednosti su jedinice. Koristeći jednu vrstu matričnih tablica, izvršite svoje osnovne transformacije ili pronađite matricu inverznu na izvornu.

Canonical tip

Kanonska forma matrice smatra se jednim od osnovnih, a redukcija je često potrebna za rad. Broj redaka i stupaca u kanonskoj matrici je različit, ne mora nužno pripadati kvadratnom tipu. Ponešto je slična jediničnoj matrici, ali u tom slučaju nisu sve komponente glavne dijagonalne vrijednosti jednake vrijednosti. Glavne dijagonalne jedinice mogu biti dvije, četiri (sve ovisi o duljini i širini matrice). Ili jedinice uopće ne mogu postojati (onda se smatra nulom). Preostale komponente kanonskog tipa, poput elemenata dijagonale i jedinice, su nula.

Triangularni tip

Jedna od najvažnijih vrsta matrice, koja se koristi za traženje njegove determinante i jednostavnih operacija. Trokutasti tip izveden je iz dijagonalnog tipa, tako da je matrica također kvadratna. Trokutasti oblik matrice podijeljen je na gornji trokutasti i donji trokut.

U gornjoj trokutastoj matrici (slika 1) samo elementi iznad glavne dijagonale uzimaju vrijednost jednaku nuli. Komponente same dijagonale i dijela matrice ispod nje sadrže numeričke vrijednosti.

U donjem trokutu (slika 2), naprotiv, elementi locirani u donjem dijelu matrice jednaki su nuli.

Korak matrice

Pogled je neophodan da bi se pronašao rang matrice, kao i elementarne akcije na njima (zajedno s trokutastim tipom). Step matrica je nazvana tako da sadrži karakteristične "korake" nula (kao što je prikazano na slici). U stupnjevitom obliku, formirana je dijagonala nula (ne nužno glavna), a svi elementi ispod dane dijagonale također imaju vrijednosti jednaku nuli. Pretpostavka je sljedeća: ako u matrici koraka postoji nulirani niz, preostale linije ispod nje također ne sadrže numeričke vrijednosti.

Tako smo ispitali najvažnije vrste matrica potrebnih za rad s njima. Pogledajmo sada problem transformacije matrice u traženi oblik.

Smanjenje do trokutastog oblika

Kako donijeti matricu u trokutasti oblik? Najčešće u zadacima potrebno je pretvoriti matricu u trokutastu formu kako bi pronašla njegovu determinanta, nazvanu determinantom na drugi način. Izvođenje ovog postupka iznimno je važno "sačuvati" glavnu dijagramu matrice, jer je odrednica trokutaste matrice točno proizvod komponenata njegove glavne dijagonale. Također ću podsjetiti na alternativne metode za pronalaženje odrednice. Utvrđivač kvadratnog tipa nalazi se pomoću posebnih formula. Na primjer, možete koristiti metodu trokuta. Za ostale matrice, upotrijebite metodu razlaganja za redak, stupac ili element. Također možete primijeniti metodu maloljetnika i dodataka algebarskim matricama.

Pokušajmo detaljno ispitati proces smanjenja matrice na trokutastu formu na primjerima nekih zadataka.

Dodjela 1

Potrebno je pronaći odrednicu prezentirane matrice, koristeći metodu smanjenja u trokutastom obliku.

Matrica nam je dana kvadratna matrica trećeg reda. Stoga, da bismo ga pretvorili u trokutastu formu, moramo napraviti dvije komponente prvog stupca i jednu komponentu drugog stupca nula.

Da biste je doveli u trokutastu formu, započnite transformaciju iz donjeg lijevog kuta matrice - od broja 6. Da biste ga okrenuli na nulu, pomnožite prvu redak s tri i oduzmite ga od posljednjeg retka.

Važno! Gornja crta se ne mijenja, ali ostaje ista kao u izvornoj matrici. Ne morate snimati crta koja je četiri puta veća od izvornog. Ali vrijednosti redaka, čije komponente moraju biti nula, stalno se mijenjaju.

Zatim uzmimo sljedeću vrijednost, element drugog reda prvog stupca, za 8. Prvo redko umnožimo četiri puta i oduzimamo ga od druge linije. Dobijemo nulu.

Ostaje samo zadnja vrijednost - element trećeg reda drugog stupca. Ovaj je broj (-1). Da biste ga okrenuli na nulu, oduzmite drugu od prvog retka.

Izvršite ček:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Dakle, odgovor na zadatak: -22.

Aktivnost 2

Potrebno je pronaći odrednicu matrice metodom smanjenja u trokutastom obliku.

Prikazana matrica pripada kvadratnom tipu i matrica je četvrtog reda. Stoga je neophodno nulte tri komponente prvog stupca, dvije komponente drugog stupca i jednu komponentu treće.

Počinjemo ga smanjiti iz elementa u donjem lijevom kutu, od broja 4. Moramo ovaj broj okrenuti na nulu. To je najprikladnije to učiniti umnožavanjem četiri gornje linije, a zatim oduzimanjem od četvrtog. Zapisujemo rezultat prvog stupnja transformacije.

Dakle, komponenta četvrtog reda je nula. Prijeđimo se na prvi element trećeg retka, do broja 3. Izvršavamo sličnu operaciju. Pomnožite prva tri retka s tri, oduzmite ga od trećeg retka i napišite rezultat.

Zatim vidimo broj 2 u drugom retku. Ponovite postupak: pomnožite gornji red za dva i oduzmite ga od drugog.

Uspjeli smo pretvoriti sve elemente prvog stupca navedene kvadratne matrice na nulu, osim broja 1 - elementa glavne dijagonale koja ne zahtijeva transformaciju. Sada je važno zadržati rezultirajuće nula, tako da ćemo izvršiti konverzije s nizovima, a ne stupcima. Prođimo do drugog stupca prikazane matrice.

Ponovno, počnite od dna - od drugog stupca posljednjeg retka. Ovaj broj je (-7). Međutim, u ovom je slučaju prikladnije započeti s brojem (-1) - elementom drugog stupca trećeg retka. Da biste ga prebacili na nulu, oduzmite drugu od trećeg retka. Zatim pomnožite drugi red za sedam i oduzmite ga od četvrtog. Dobivamo nulu umjesto elementa koji se nalazi u četvrtom redu drugog stupca. Sada idite na treći stupac.

U ovom stupcu trebamo nulirati samo jedan broj - 4. Da biste to učinili je jednostavno: samo dodajte treću liniju do posljednjeg retka i pogledajte potrebnu nulu.

Nakon svih transformacija koje smo napravili, smanjili smo predloženu matricu u trokutastu formu. Sada, kako bi pronašli svoju determinanta, potrebno je samo umnožiti rezultirajuće elemente glavne dijagonale. Dobivamo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Slijedom toga, rješenje je broj 160.

Dakle, sada pitanje postavljanja matrice na trokutasto gledište neće vam otežati.

Smanjenje u stupnjevani oblik

U elementarnim operacijama na matricama, stepeni oblik je manje "tvrdio" od trokutastog. Najčešće se koristi za pronalaženje ranga matrice (tj. Broj njenih nula redaka) ili određivanje linearno ovisnih i neovisnih redaka. Međutim, koračni oblik matrice je sveobuhvatniji jer je prikladan ne samo za kvadratni tip, već i za sve ostale.

Da biste matricu doveli do stupnjevitog oblika, najprije morate pronaći njezinu odrednicu. Da biste to učinili, gore navedene metode su prikladne. Svrha pronalaženja determinante je ovo: otkriti je li moguće pretvoriti ga u korak-sličan oblik matrice. Ako je odrednica veća ili manja od nule, možete sigurno nastaviti do zadatka. Ako je jednak nuli, nije moguće izvesti redukciju matrice u stupnjevani oblik. U tom slučaju morate provjeriti postoje li pogreške u zapisima ili u transformacijama matrica. Ako nema takvih netočnosti, zadatak se ne može riješiti.

Razmislimo o tome kako matricu dovesti do sličnog oblika na primjerima nekoliko zadataka.

Dodjela 1. Pronađite rang ove matrične tablice.

Prije nas je kvadratna matrica trećeg reda (3x3). Znamo da je za pronalaženje ranga nužno dovesti ga u korak-sličan oblik. Stoga, prvo moramo pronaći odrednicu matrice. Koristimo metodu trokuta: DETA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Određena je 12. To je veće od nule, tako da se matrica može reducirati u oblik sličan koraku. Nastavimo s njegovim transformacijama.

Počnimo s lijevom stupcu trećeg retka - broj 2. Pomnožite gornji red do dva i oduzmite ga od trećeg. Zahvaljujući ovoj operaciji, i element koji nam je potreban i broj 4 - element drugog stupca trećeg reda - nestali su.

Zatim smo nulte element drugog reda prvog stupca - broj 3. Da biste to učinili, pomnožite gornji red do tri i oduzmite ga od drugog.

Vidimo da je kao rezultat smanjenja formirana trokutasta matrica. U našem slučaju transformacija se ne može nastaviti, jer se preostale komponente ne mogu smanjiti na nulu.

Dakle, zaključujemo da broj redaka koji sadrže numeričke vrijednosti u ovoj matrici (ili njegovom rangu) je 3. Odgovor na zadatak: 3.

Dodjela 2. Odredite broj linearno neovisnih redaka određene matrice.

Moramo pronaći linije koje se ne mogu pretvoriti u nulu pomoću bilo kakvih transformacija. Zapravo, moramo pronaći broj redaka koji nisu nula, odnosno rang matrice. Da bismo to učinili, pojednostavit ćemo ga.

Vidimo matricu koja ne pripada kvadratnom tipu. Mjeri 3x4. Počnimo lijevanje iz donjeg lijevog kuta - broj (-1).

Dodajte prvi redak na treći. Dalje, oduzmemo drugi od nje kako bismo pretvorili broj 5 na nulu.

Daljnje pretvorbe su nemoguće. Stoga zaključujemo da je broj linearno neovisnih redova u njemu i odgovor na zadatak 3.

Sada bacanje matrice u stupnjevani oblik nije nemoguće zadatak za vas.

Na primjerima ovih zadataka analizirali smo redukciju matrice u trokutastu formu i korak po korak. Da bi se potrebne vrijednosti matričnih tablica smanjile na nulu, u nekim je slučajevima potrebno prikazati maštu i ispravno transformirati njihove stupce ili žice. Želim vam uspjeh u matematici i radu s matricama!