Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi. Homogeni sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Natrag u školu, svatko od nas proučavao je jednadžbe i, vjerojatno, sustav jednadžbi. Ali mnogi ljudi ne znaju da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo detaljno raspravljati o svim metodama za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi koje se sastoje od više od dva jednaka.

priča

Do danas je poznato da je umjetnost rješavanja jednadžbi i njihovih sustava potekla čak iu drevnom Babilonu i Egiptu. Međutim, jednakost u njihovu uobičajenom obliku za nas se pojavila nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. uveo engleski matematičar Record. Usput, taj je znak odabran iz razloga: to znači dva paralelna jednaka segmenta. Doista, najbolji primjer jednakosti ne može se zamisliti.

Osnivač suvremenih abecednih oznaka nepoznatih i znakova stupnjeva je francuski matematičar Francois Viet. Međutim, njezine su oznake bile značajno različite od danas. Na primjer, kvadrat nepoznatog broja je označen slovom Q (lat „Kvadratom”.), I kocka - (lat. „Cubus”) slovo C. Ovi simboli se sada čini neugodno, ali tada je bilo najviše intuitivan način napisati sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Međutim, nedostatak u tadašnjim metodama rješavanja bio je da matematičari smatraju samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nisu imale praktičnu primjenu. U svakom slučaju, talijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli u 16. stoljeću prvi su razmotrili negativne korijene. Moderan izgled, glavna metoda rješavanja kvadratne jednadžbe (preko diskriminatora) stvoren je samo u 17. stoljeću zahvaljujući Descartesovim i Newtonovim djelima.

Sredinom 18. stoljeća, švicarski matematičar Gabriel Kramer pronašao je novi način da olakša rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ova je metoda naknadno nazvana po njemu i do danas ga koristimo. No razgovarat ćemo o Cramerovoj metodi malo kasnije, ali za sada ćemo raspravljati o linearnim jednadžbama i metodama za njihovo rješavanje odvojeno od sustava.

Linearne jednadžbe

Linearne jednadžbe su najjednostavnije jednadžbe s varijablom (e). Oni su klasificirani kao algebarska. Linearne jednadžbe napišite u općem obliku kako slijedi: a₁* x₁+i_{2 *}x₂+...i_n* x_nb. Njihova zastupljenost u ovom obliku je potrebna za kompilaciju sustava i matrica dalje.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Definicija ovog pojma je: to je skup jednadžbi koji imaju zajedničke nepoznate količine i zajedničko rješenje. U pravilu, u školi, sve je riješeno sustavima s dvije ili čak tri jednadžbe. Ali postoje sustavi s četiri ili više komponenti. Pogledajmo prvu, kako ih zapisati tako da je u budućnosti bilo prikladno riješiti. Prvo, sustavi linearnih algebarskih jednadžbi izgledat će bolje ako su sve varijable zapisane kao x s odgovarajućim indeksom: 1,2,3 i tako dalje. Drugo, potrebno je sve jednadžbe dovesti u kanonski oblik: a₁* x₁+i_{2 *}x₂+...i_n* x_nb.

Nakon svih tih aktivnosti možemo početi govoriti kako pronaći rješenje sustava linearnih jednadžbi. Mnogo toga za ovo trebamo matrice.

matrica

Matrica je tablica koja se sastoji od redaka i stupaca, a na njihovom sjecištu su njezini elementi. To mogu biti specifične vrijednosti ili varijable. Najčešće, za označavanje elemenata, postavljeni su ispod indeksa (na primjer, a₁₁ ili a₂₃). Prvi indeks je redni broj, a drugi je stupac. Preko matrice, kao i preko bilo kojeg drugog matematičkog elementa, moguće je izvršiti različite operacije. Tako možete:

1) Oduzmite i dodajte tablice istih veličina.

2) Pomnožite matricu brojem ili vektorom.

3) Transpose: pretvaranje redaka matrice u stupce i stupce - u redovima.

4) Pomnožite matrice ako je broj redaka jednog od njih jednak broju stupaca druge.

Detaljnije ćemo raspraviti sve te tehnike, jer će nam oni biti korisni u budućnosti. Oduzimanje i dodavanje matrica je vrlo jednostavan. Budući da uzimamo matrice iste veličine, svaki element jedne tablice korelira sa svakim elementom druge. Tako dodamo (oduzmite) ta dva elementa (važno je da oni stoje na istim mjestima u svojim matricama). Kad množite matricu brojem ili vektorom, jednostavno umnožite svaki element matrice tim brojem (ili vektorom). Prijelaz je vrlo zanimljiv proces. Ponekad je vrlo zanimljivo vidjeti ga u stvarnom životu, na primjer, prilikom mijenjanja orijentacije tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini su matrica, a kad se pozicija mijenja, transponirana je i širi, ali se smanjuje u visini.

Analizirat ćemo još takav proces, kao što je množenje matrica. Iako ne dolazi u uporabu, i dalje će biti korisno to znati. Pomnožite dvije matrice samo ako je broj stupaca jedne tablice jednak broju redaka drugog. Sad uzimamo elemente reda jedne matrice i elemente odgovarajućeg stupca druge. Umnožimo ih jedan drugom, a zatim ih dodamo (to jest, na primjer, proizvod elemenata a₁₁ i a₁₂ na b₁₂ i b₂₂ će biti: a₁₁b₁₂ + i₁₂b₂₂). Dakle, dobivamo jedan element stola i ispunjava se na isti način dalje.

Sada možemo početi razmotriti kako se sustav linearnih jednadžbi rješava.

Gaussova metoda

Ova tema počinje se odvijati u školi. Dobro znamo koncept "sustava dviju linearnih jednadžbi" i možemo ih riješiti. Ali što ako je broj jednadžbi veći od dva? Ovo će nam pomoći Gaussova metoda.

Naravno, prikladno je koristiti ovu metodu ako napravimo matricu iz sustava. Ali ga ne možete preobraziti i riješiti ga u čistom obliku.

Dakle, kako sustav linearnih Gaussovih jednadžbi rješava ovu metodu? Usput, iako je ova metoda nazvana po njemu, ali je otkrivena u davnim vremenima. Gauss sugerira slijedeće: izvršiti operacije s jednadžbama, kako bi na kraju doveli cijeli agregat na oblik sličan korak. To jest, potrebno je da od vrha do dna (ako je pravilno uređeno) od prve jednadžbe do posljednjeg bi se smanjila za jednu nepoznatu. Drugim riječima, trebamo to učiniti tako da dobijemo, recimo, tri jednadžbe: u prvom - tri nepoznata, u drugom - dva, u trećoj - jednini. Tada iz posljednje jednadžbe nalazimo prvi nepoznat, zamjenjujemo njegovu vrijednost u drugoj ili prvoj jednadžbi, a zatim pronađemo preostale dvije varijable.

Cramerova metoda

Za ovladavanje ovom metodom, vitalno je imati vještine dodavanja, oduzimanja matrica, te također biti u stanju pronaći odrednice. Stoga, ako to učinite loše ili ne znate kako, morat ćete naučiti i vježbati.

Koja je suština ove metode, i kako da se tako postigne sustav linearnih Cramerovih jednadžbi? Vrlo je jednostavno. Moramo izgraditi matricu numeričkih (gotovo uvijek) koeficijenata sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Da biste to učinili, samo uzmite brojeve ispred nepoznatog i stavite ih u tablicu redom kako su napisani u sustavu. Ako se ispred broja nalazi znak ";", onda napišite negativni koeficijent. Dakle, napravili smo prvi matricu koeficijenata nepoznanica, ne uključujući broj nakon znaka jednakosti (naravno, da je jednadžba mora biti sveden na kanonskom obliku, kada je pravo je samo broj, a lijeva - sve nepoznanice s koeficijentima). Tada moramo stvoriti još nekoliko matrica, po jedan za svaku varijablu. Da biste to učinili, zamijenite svaki stupac u prvoj matrici kolonom stupca stupca nakon jednakog znaka. Stoga dobivamo nekoliko matrica, a zatim pronađu njihove determinante.

Nakon što smo pronašli odrednice, to je mala stvar. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko izvedenih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili sistemska rješenja, podijelit ćemo determinanta dobivene tablice u odrednicu početne tablice. Rezultantni broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično nalazimo i sve nepoznate.

Ostale metode

Postoji nekoliko drugih metoda za dobivanje rješenja sustava linearnih jednadžbi. Na primjer, takozvana Gauss-Jordanova metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja za sustav kvadratnih jednadžbi, također je povezana s upotrebom matrica. Tu je i Jacobi metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. To je najviše prilagodljiva za računalo i koristi se u računalnoj tehnologiji.

Složeni slučajevi

Složenost se obično pojavljuje ako je broj jednadžbi manji od broja varijabli. Tada možemo za neke reći da je bilo sustav nespojivo (to jest, nema korijene) ili broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, moramo zapisati opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Sadržavat će barem jednu varijablu.

zaključak

Tako smo došli do kraja. Ukratko, analizirali smo sustav i matricu, a naučili smo pronaći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Osim toga, razmotrili smo i druge opcije. Otkrili su kako je riješen sustav linearnih jednadžbi: Gaussova metoda i Cramerova metoda. Razgovarali smo o kompliciranim slučajevima i drugim načinima pronalaženja rješenja.

Zapravo, ova je tema puno opširnija, a ako želite bolje razumjeti, preporučujemo da pročitate više specijalizirane literature.