Matrix Algebra: Primjeri i rješenja

Matrice i odrednice otkrivene su u osamnaestom i devetnaestom stoljeću. U početku se njihov razvoj odnosio na transformaciju geometrijskih objekata i rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Povijesno gledano, rani naglasak bio je na determinanti. U suvremenim metodama obrade linearne algebre, matrice se prvo smatraju. Vrijedi razmisliti o ovom pitanju.

Odgovori koje daje ovo područje znanja

Matrice pružaju teoretski i praktički koristan način rješavanja mnogih problema, kao što su:

• sustavi linearnih jednadžbi;
• ravnoteža krutih tvari (u fizici);
• teorija grafova;
• model gospodarstva Leontief;
• šumarstvo;
• računalne grafike i tomografije;
• genetika;
• kriptografija;
• električne mreže;
• fraktal.

Zapravo, matrična algebra za "lutke" ima pojednostavljenu definiciju. To se izražava na taj način: to je znanstveno područje znanja, u kojem se proučavaju, analiziraju i studiraju vrijednosti u cijelosti. U ovom dijelu algebre proučavaju se razne operacije na matricama koje se istražuju.

Kako raditi s matricama

Ove se vrijednosti smatraju jednake ako imaju iste dimenzije, a svaki je element jednake odgovarajućem elementu drugog. Moguće je pomnožiti matricu bilo kojom konstantama. To se zove skalarna množenje. Primjer: 2 = [2sdot-12sdot-32sdot-22sdot-4] = 2468.

Matrice iste veličine mogu se dodati i oduzeti ulazima, a vrijednosti kompatibilnih veličina se mogu pomnožiti. Primjer: dodajte dva A i B: A = [21minus-10] B =. To je moguće, budući da A i B - obje matrice imaju dva reda i isti broj stupaca. Potrebno je dodati svaki element u A u odgovarajući element u B: A + B = [2 + 11 + 2minus-1 + 40 + 3] = [3333]. Slično oduzmite u matričnoj algebra.

Množenje matrica se događa malo drugačije. Štoviše, slučajevi i mogućnosti mogu biti mnogi, kao i rješenja. Ako pomnožiti matricu AP * q i Bm * n, zatim se proizvod Ap × q + Bm × n = [AB] p × br. Element u g-tog retka i H-tom stupcu AB je zbroj produkata odgovarajućih elemenata u g A i H B. Moguće je pomnožiti dva matrice samo ako je broj stupaca u prvom i drugom linije su jednaki. Primjer: ispuniti uvjet A do obzir i B: A = [1minus-130] B = [2minus-11214]. To je moguće, budući da prva matrica sadrži 2 stupca, a druga sadrži 2 retka. AB = [1sdot-2 + 3sdot-minus-1minus-1sdot-2 + 0sdot-minus-11sdot-1 + 3sdot-2minus-1sdot-1 + 0sdot-21sdot-1 + 3sdot-4minus-1sdot-1 + 0sdot-4 ] = [minus-1minus-27minus-113minus-1].

Osnovne informacije o matrici

Ove vrijednosti organiziraju informacije, kao što su varijable i konstante, te ih pohranjuju u retke i stupce, obično se nazivaju C. Svaka pozicija u matrici se naziva elementom. Primjer: C = Sastoji se od dva reda i dva stupca. Element 4 je u retku 2 i stupcu 2. Obično se može nazvati matricom nakon njezinih dimenzija, onaj s nazivom Cm * k ima redove i k stupce.

Proširene matrice

Razmatrane vrijednosti su nevjerojatno korisne stvari koje se pojavljuju u mnogim primijenjenim područjima. Matrice su izvorno bile zasnovane na sustavima linearnih jednadžbi. S obzirom na sljedeću strukturu nejednakosti, potrebno je uzeti u obzir sljedeću povezanu matricu:

2x + 3y - z = 6

-x-y-z = 9

x + y + 6z = 0.

Zapišite koeficijente i vrijednosti odgovora, uključujući sve minus znakove. Ako element s negativnim brojem, to će biti jednak "1". To jest, s obzirom na sustav (linearnih) jednadžbi, moguće je povezati matricu (grid brojeva unutar zagrada). To je onaj koji sadrži samo koeficijente linearnog sustava. To se zove "proširena matrica". Rešetka koja sadrži koeficijente s lijeve strane svake jednadžbe bila je "dopunjena" s odgovorima s desne strane svake jednadžbe.

Zapisi, odnosno vrijednosti matrice B odgovaraju vrijednostima x-, y- i z u izvornom sustavu. Ako je pravilno postavljen, najprije ga provjerite. Ponekad je potrebno preurediti uvjete ili umetnuti nula kao rezervirano mjesto u istraživanoj ili istraženoj matrici.

S obzirom na sljedeći sustav jednadžbi, možemo odmah pisati povezanu dopunjenu matricu:

x + y = 0

y + z = 3

z - x = 2.

Prvo, trebate promijeniti raspored sustava kao:

x + y = 0

y + z = 3

-x + z = 2.

Zatim postoji mogućnost pisanja vezane matrice kao: [11000113-1012]. Prilikom oblikovanja proširenog, trebate koristiti nulu za bilo koji rekord, gdje je odgovarajuće mjesto u sustavu linearnih jednadžbi prazno.

Matrična algebra: svojstva operacija

Ako je potrebno oblikovati elemente samo iz vrijednosti koeficijenata, tada će razmatrana vrijednost izgledati ovako: [110011-101]. To se zove "matrica koeficijenata".

S obzirom na sljedeću proširenu algebru matrica, potrebno je poboljšati i dovršiti pridruženi linearni sustav. Istodobno, važno je zapamtiti da je za njih potrebna da su varijable ispravno poredane. I obično, kada postoje tri varijable, koristite x, y i z u ovom redoslijedu. Stoga, povezani linearni sustav mora biti:

x + 3y = 4

2y-z = 5

3x + z = -2.

Veličina matrice

Elementi koji se razmatraju često se spominju pomoću njihovih pokazatelja. Veličina matrice u algebru je dan u obliku mjerenja, budući da se soba može nazvati drugačije. Mjerene vrijednosti vrijednosti su retke i stupci, a ne širina i duljina. Na primjer, matrica A:

[1234]

[2345]

[3456].

Budući da A ima tri reda i četiri stupca, veličina A je 3 × 4.

→

↓

Redovi idu bočno. Kolumne se pomiču prema gore i dolje. "String" i "column" su tehnički uvjeti i nisu međusobno zamjenjivi. Dimenzije matrice uvijek se navode s brojem redaka, a zatim s brojem stupaca. Slijedeći ovaj sporazum, sljedeći B:

[123]

[234] je 2 × 3. Ako matrica ima isti broj redaka kao stupci, onda se naziva "kvadrat". Na primjer, vrijednosti koeficijenata odozgo:

[110]

[011]

[-101] je 3 × 3 kvadratna matrica.

Matricne oznake i oblikovanje

Napomena o oblikovanju: na primjer, kada je potrebno napisati matricu, važno je koristiti zagrade []. Barovi apsolutne vrijednosti || nisu korišteni, jer u tom kontekstu imaju drugačiji smjer. Ni u kojem slučaju nisu korišteni okrugli ili kovani zagradci {}. Ili neki drugi simbol grupiranja ili ništa, jer ta prezentacija nije važna. U algebru, matrica je uvijek unutra kvadratne zagrade. Potrebno je koristiti samo ispravnu oznaku ili primljeni odgovori mogu se smatrati iskrivljenima.

Kao što je ranije spomenuto, vrijednosti sadržane u matrici nazivaju se zapisi. Iz nekog razloga, predmetni su predmeti obično napisani velikim slovima, poput A ili B, a unosi se označavaju odgovarajućim malim slovima, ali s indeksima. Vrijednosti matrici obično naziva «ai, j», gdje je i - je linija A, i j - stupac A. Na primjer, a3,2 = 8 snimanje a1,3 je jednak 3.

Za manje matrice, one s manje od deset redaka i stupaca, zarez u donjem indeksu ponekad je izostavljen. Na primjer, "a1,3 = 3" može se napisati kao "a13 = 3". Očito, ovo neće raditi za velike matrice, budući da će a213 biti nejasno.

Vrste matrica

Ponekad klasificirani prema konfiguraciji njihovih zapisa. Na primjer, matrica koja ima sve nula unose ispod dijagonale od top-lijeva na dolje-desno „Dijagonala” naziva se gornja trokutasta. Između ostalog, mogu postojati i drugi tipovi i tipovi, ali oni nisu baš korisni. U pravilu se općenito smatra gornjim trokutastim. Vrijednosti s nulte eksponentima samo horizontalno nazivaju se dijagonalno. Ove vrste imaju ne-nula unose u kojoj su svi 1, takvi odgovori zovu identično (iz razloga koji će postati jasno kada je studirao i shvatio kako umnožiti vrijednost uzeti u obzir). Postoje mnogi slični istraživački pokazatelji. Identitet 3 × 3 označen je s I3. Slično tome, identitet 4 × 4 jednak je I4.

Algebra matrica i linearnih razmaka

Treba napomenuti da su trokutaste matrice kvadratne. No dijagonalni su trokutasti. S obzirom na to, oni su kvadratni. A identiteti smatra dijagonala i stoga, trokutasti i trg. Kada želite opisati matricu, obično ćete jednostavno odrediti svoju najspecifičniju klasifikaciju jer to podrazumijeva sve ostale. Organizirati ove studije izvedbe: [[9 10 11 12] [5 6 7 8], [1 2 3 4]] moguće kao 3 × 4. U tom slučaju nisu kvadrat. Stoga vrijednosti ne mogu biti druge. Sljedeće klasifikacija: [[4 0 9] [3 -2 3] [1 6 7]] moguća je 3 × 3. Istovremeno se smatra kvadrat, i nema ništa posebno. Klasifikacija sljedećim podacima: [[8 -4 0] [0 1 2] [0 0 5]] kao 3 × 3 gornje trokutaste, ali nije dijagonalno. Istina, u vrijednostima koje se razmatraju mogu biti dodatni nula na navedenom i određenom prostoru iznad njega. Studija je nadalje klasifikaciji: [[0 0 1] [1 0 0] [0 0 1]], gdje je predstavljen kao uzdužni, a osim toga, uređaj za snimanje - sve 1. Zatim, ovaj 3 × 3 identiteta, I3.

Budući da su slične matrice po kvadratu definicije, samo trebate koristiti jedan indeks da biste pronašli njihove veličine. Da bi dvije matrice bile jednake, one moraju biti jednake parametre, a također moraju imati iste zapise na istim mjestima. Na primjer, pretpostavimo da su dva elementa treba uzeti u obzir: A = [[1 3 0] [0 -2 0]] i B = [[1 ožujak] [-2 0]]. Ove vrijednosti ne mogu biti jednake, jer su različite veličine.

Čak i ako A i B su isti: A = [[3 lipanj] [2 5] [1 4]] i B = [[1 2 3] [4 5 6]] - oni ipak nisu isti. A i B imaju šest unosa i također imaju iste brojeve, ali to nije dovoljno za matrice. A - 3 × 2. B - Matrica 2 × 3. 3 × 2 × 2 nije jednak 3. Nije važno da li je A i B jednak broj podataka ili čak isti broj kao u zapisnik. Ako A i B nemaju istu veličinu i oblik, ali imaju identične vrijednosti na sličnim mjestima, one nisu jednake.

Slične operacije na području koje se razmatra

Ova svojstva ravnopravnosti matrice mogu se pretvoriti u zadatke za samostalno istraživanje. Na primjer, daju se dvije matrice, a naznačeno je da su jednake. U ovom slučaju, morat ćete upotrijebiti ovu jednadžbu da biste istražili i dobili odgovore na vrijednosti varijabli.

Primjeri i rješenja matrica u algebru mogu biti različiti, posebno ako se radi o jednakosti. S obzirom da se uzimaju u obzir sljedeće matrice, potrebno je pronaći vrijednosti x i y. Da bi A i B bili jednaki, oni moraju imati istu veličinu i oblik. U stvari, oni su tako, jer svaki od njih je 2 × 2 matrica. I oni bi trebali imati iste vrijednosti na istim mjestima. Zatim a1,1 trebao biti B1,1, a1,2 trebao biti b1,2 i tako. D. Prijave a1,2 i a2,1 jasno su, redom, elementi i b1,2 b2,1 (označavanjem, koji se jednostavno gleda ih). Ali, a1, 1 = 1, očito, nije jednako b1, 1 = x. Za A, identičan B, ulaz mora imati a1,1 = b1,1, stoga je u stanju jednako 1 = x. Slično tome, indeksi a2,2 = b2,2, dakle 4 = y. Tada je rješenje: x = 1, y = 4. S obzirom da se sljedeće matrice su jednake, potrebno je pronaći vrijednosti x, y i z. Da bi A = B, koeficijenti trebaju imati sve zapise jednake. To jest, a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2, 1 = b2, i tako dalje. Konkretno, treba:

4 = x

-2 = y + 4

3 = z / 3.

Kao što se može vidjeti iz odabranih matrica: s 1,1-, 2,2- i 3,1-elementima. Rješavanje ove tri jednadžbe, dobili smo odgovor: x = 4, y = -6, i z = 9. Algebra Matrice i operacije na matricama različita od one na koju su svi navikli, ali oni ne razmnozhaemy.

Dodatne informacije u ovom području

Linearna algebra matrice je proučavanje takvih skupova jednadžbi i njihovih transformacijskih svojstava. Ovo područje stručnosti omogućuje nam da analiziramo rotacije u prostoru približiti najmanjih kvadrata rješenje zajedno diferencijalnih jednadžbi koje određuju krug prolaze kroz tri zadanim točkama, te riješiti mnoge druge probleme iz matematike, fizike i inženjering. Linearna algebra matrice zapravo nije tehničko značenje riječi koja se koristi, tj. Prostor vektora v iznad polja f, i tako dalje.

Matrica i odrednica su iznimno korisni alati linearne algebre. Jedan od glavnih problema je rješenje matrične jednadžbe A_x = b, za x. Iako se to teoretski može riješiti pomoću obrnutog x = A^-1 b. Druge metode, poput Gaussove eliminacije, numerički su pouzdanije.

Osim koristiti za opisivanje skupa za učenje linearnih jednadžbi gore, pojam se koristi za opisivanje određenu vrstu algebra. Konkretno, L preko polja F ima strukturu prstena sa svim uobičajenim aksioma za unutarnju zbrajanje i množenje s distributivnim zakonima. Stoga mu daje više strukture od prstena. Linearna algebra matriks omogućuje vanjski razmnožavanje po scalars, koji su elementi predmetnog područja F. Na primjer, skup svih transformacije u vektor prostora V preko polja F je stvorena tijekom F. Drugi primjer linearne algebre je skup svih stvarnog kvadrata matrica iznad R realnih brojeva.