Primjeri sustava linearnih jednadžbi: metoda rješavanja

Sustavi jednadžbi široko su korišteni u ekonomskom polju u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, prilikom rješavanja zadataka upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (transportni zadatak) ili plasiranja opreme.

Sustavi jednadžbe koriste se ne samo u području matematike već iu fizici, kemiji i biologiji u rješavanju problema pronalaženja veličine populacije.

Sustav linearnih jednadžbi je dvije ili više jednadžbi s nekoliko varijabli, za koje je potrebno pronaći opće rješenje. Takav niz brojeva za koje sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da sekvenca ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax + by = c nazivaju se linearne. Notacija x, y je nepoznata, vrijednost mora biti pronađena, b, a koeficijenti varijabli, c je slobodni pojam jednadžbe.
Rješenje jednadžbe konstruiranjem grafikona imat će oblik pravocrtne linije, od kojih su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sustava linearnih jednadžbi

Najjednostavniji primjeri su sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1 (x, y) = 0 i F2 (x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, i (x, y) funkcijske varijable.

Riješite sustav jednadžbi - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) na kojima sustav pretvara u ispravnu jednakost ili utvrditi da nema prikladnih x i y vrijednosti.

Par vrijednosti (x, y), napisane u obliku koordinata točke, nazivaju se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenja ne postoje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako je pravo nakon što znak dijela "jednakosti" ima vrijednost ili je izrazio funkcija, takav sustav nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dva, onda bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri varijable ili više.

Suočeni sa sustavima školske djece ukazuju na to da je broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali nije. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može biti onoliko koliko im se sviđa.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sustava jednadžbi

Nema opće analitičke metode za rješavanje takvih sustava, sve se metode temelje na numeričkim rješenjima. U školskoj matematici detaljno su opisane metode poput permutacije, algebarskog dodavanja, zamjene, kao i grafičke i matrične metode, Gaussova rješenja.

Glavni zadatak u poučavanju metoda rješavanja je naučiti kako ispravno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam za svaki primjer. Glavna stvar je ne zapamtiti sustav pravila i djelovanja za svaku metodu, već razumjeti načela primjene ove ili one metode

Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda općeg školskog programa vrlo je jednostavno i detaljno se objašnjava. U svakom udžbeniku matematike ovaj odjeljak daje dovoljno pozornosti. Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gauss i Kramer detaljnije se proučava na prvim stupnjevima visokih učilišta.

Rješavanje sustava zamjenom

Radnje metode supstitucije imaju za cilj izraziti vrijednost jedne varijable kroz drugu. Izraz je zamijenjen u preostaloj jednadžbi, a zatim je unesen u oblik s jednom varijablom. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznatih u sustavu

Dajemo rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda metodom supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena u odnosu na F (X) = 7 + Y. Dobiveni ekspresijski u supstituiran 2. jednadžbe na mjestu X, pomoglo dobiti jednu varijabilnu Y u 2. jednadžbi. Rješenje je u ovom primjeru je jednostavan i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Posljednji korak je da provjerite dobivene vrijednosti.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi zamjenom nije uvijek moguće. Jednadžbe mogu biti složene i izraz varijable kroz drugi nepoznat će dokazati previše zbunjujuće za daljnje izračune. Kada postoji više od 3 nepoznanica u sustavu, zamjena je također neophodna.

Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje pomoću algebarskog dodatka

Prilikom traženja rješenja sustava pomoću metode dodavanja, izvršavaju se termi-po-dan dodavanje i umnožavanje jednadžbi različitim brojem. Krajnji cilj matematičkih akcija jest jednadžba s jednom varijablom.

Praksa i promatranja su neophodni za primjenu ove metode. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom dodavanja za niz varijabli od 3 ili više nije lako. Algebarsko dodavanje je prikladno kada su frakcije i decimalne jedinice prisutne u jednadžbama.

Algoritam rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednadžbe određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi biti jednak 1.
2. Konačno, dodajte rezultirajuću ekspresiju i pronađite jedan od nepoznatih.
3. Zamijenite tu vrijednost u drugu jednadžbu sustava da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješavanja uvođenjem nove varijable

Može se unijeti nova varijabla ako se u sustavu traži rješenje za ne više od dvije jednadžbe, broj nepoznatih podataka također mora biti ne više od dva.

Metoda se koristi za pojednostavljivanje jedne od jednadžbi unošenjem nove varijable. Nova je jednadžba riješena s obzirom na nepoznato, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje početne varijable.

Iz primjera je vidljivo da je uvođenjem nove varijable t moguće smanjiti prvu jednadžbu sustava u standardni kvadratni trinomij. Riješite polinom pronađenjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminantnoj poznatom formulom: D = b2 - 4 * a * c, gdje je D - željeni diskriminacijska, b, a, c - polinom multiplikatora. U danom primjeru, a = 1, b = 16, c = 39, dakle, D = 100. Ako diskriminantne je veći od nule, onda su dva rješenja: t = b ± Radic-D / 2 * a, ako je diskriminacijska manji od nule, onda se otopina: x = b / 2 * a.

Otopina za rezultirajuće sustave je otkrivena metodom dodavanja.

Vizualna metoda za rješavanje sustava

Prikladno za sustave s 3 jednadžbe. Metoda se sastoji u planiranju koordinate osi grafikoni svake jednadžbe koji ulaze u sustav. Koordinate točaka križanja krivulja u bit će opće rješenje sustava.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaki redak je izgrađena dva boda, vrijednosti varijable x izabrani su samovoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x, naći vrijednosti za y: 3 i 0 bodova s ​​koordinatama (0, 3) i (3, 0) su označeni na grafikonu i povezani linijom.

Akcija se mora ponoviti za drugu jednadžbu. Točka presjeka linija je rješenje sustava.

U sljedećem primjeru trebamo pronaći grafičko rješenje sustava linearnih jednadžbi: 0.5x-y + 2 = 0 i 0.5x-y-1 = 0.

Kao što možete vidjeti iz primjera, sustav nema rješenje, jer su grafikoni paralelni i ne presijecaju sve duž svoje dužine.

Sustavi primjera 2 i 3 su slični, ali u konstrukciji postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno napraviti raspored.

Matrix i njegove varijante

Matrice se koriste za kratko snimanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica se zove tablica posebne vrste, ispunjena brojevima. Matrica oblika n * m ima n redaka i m - stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak međusobno. Matrični vektor je matrica jednog stupca s beskonačnim brojem redaka. Matrica s onima na jednoj od dijagonala i ostalih nula elemenata naziva se matricom jedinice.

Inverzna matrica je takva matrica, pomnožena s kojim se izvorna matrica pretvara u jednu matricu, takva matrica postoji samo za izvorni kvadratni matriks.

Pravila za transformaciju sustava jednadžbi u matricu

S obzirom na sustave jednadžbi, koeficijenti i slobodni pojmovi jednadžbi napisani su kao brojevi matrice, jedna jednadžba je jedan red matrice.

Smatra se da red matrice nije nula ako barem jedan element niza nije nula. Dakle, ako bilo koji od jednadžbi broja varijabli su različiti, potrebno je postaviti nestala nepoznata unijeti nula.

Stupci stupaca moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu napisati samo u jednom stupcu, na primjer, prvi, koeficijent nepoznatog y je samo u drugom stupcu.

Kad se matrica pomnoži, svi se elementi matrice uzastopno množe brojem.

Varijante pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverznog matrice vrlo je jednostavna: K^-1= 1 / | K |, gdje K^-1 - inverzna matrica, i | K | matrična determinanta. | K | ne bi trebalo biti nula, tada sustav ima rješenje.

Determinant se lako izračunava za dvoznamenkastu matricu, samo je potrebno pomnožiti elemente dijagonalno. Za "tri do tri" varijante, formula | K | = a₁b₂c₃ + ₁b₃c₂ + ₃b₁c_{2 + 2}b₃c₁ + ₂b₁c₃ + ₃b₂c₁. Možete upotrijebiti formulu, ali se možete sjetiti da trebate uzeti jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se broj radova u stupcima i redcima elemenata ne ponovi.

Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom matrice

Matrica metode traženja rješenja omogućuje smanjenje nezgrapanih zapisa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.

U primjeru a_nm - koeficijenti jednadžbi, matrica - vektor x_n - varijabli i b_n - slobodnih članova.

Dalje, moramo pronaći inverznu matricu i umnožiti ga izvornom matricom. Pronađite vrijednosti varijabli u rezultatima matrice jedinice je lako izvršavajući zadatak.

Rješenje sustava Gaussovom metodom

Metoda više matematike Gauss studirao u kombinaciji s metodom Kramer i sustavi rješenja procesu traženja naziva metoda rješavanja Gauss - Cramer. Te se metode koriste pri pronalaženju promjenjivih sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima koja koriste permutations i algebarski dodatak, ali je sustavniji. U školskom tečaju Gaussova metoda se koristi za sustave od 3 i 4 jednadžbi. Cilj metode je dovesti sustav u oblik preokrenutog trapeza. Pomoću algebarske transformacije i supstitucija vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznata, dobro, 3 i 4 - respektivno s 3 i 4 varijable.

Nakon smanjenja sustava u opisanom obliku, daljnja se otopina svodi na sukcesivnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.

U školskim udžbenicima za ocjenu 7, primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je kako slijedi:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dvije jednadžbe 3x₃-2x₄= 11 i 3x₃+2x₄= 7. Rješenje bilo koje od jednadžbi omogućit će znanje jedne od varijabli x_n.

Teorem 5, koji se spominje u tekstu, navodi se da ako je jedan od sustava jednadžbi zamjenjuje ekvivalent, rezultirajući sustav također će biti jednaka originalu.

Metoda Gauss je teško za učenike srednjih škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje pamet djece koja studiraju u okviru programa dubinskog studija u matematičkim i fizičkim razredima.

Radi jednostavnosti, uobičajeno je napisati izračune kako slijedi:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni pojmovi napisani su u obliku matrice, gdje je svaki red matrice povezan s jednom od jednadžbi sustava. Okomita crta odvaja lijevu stranu jednadžbe s desne strane. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.

Najprije napišite matricu iz koje želite raditi, a zatim sve radnje izvršene s jednim od redaka. Dobivena matrica je napisana nakon znaka "strelica" i nastavlja izvršavati potrebne algebarske akcije sve dok se rezultat ne postigne.

Kao rezultat toga, matrica mora okrenuti u kojoj je jedan od dijagonala vrijede jedna, a svi ostali faktori jednaki nuli, tj matrica se svodi na jednu umu. Ne smijemo zaboraviti izvršiti izračune s brojevima obje strane jednadžbe.

Ova metoda snimanja omogućuje manje glomazan i ne može omesti prijenos brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješavanja zahtijevat će skrb i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neki načini pronalaženja rješenja su više preferirani u tom drugom području ljudske aktivnosti, dok drugi postoje u svrhu treninga.