Matematička matrica. Množenje matrica

Čak su i matematičari drevne Kine upotrijebili u svojim proračunima rekord u obliku tablica s određenim brojem redaka i stupaca. Zatim su slični matematički objekti nazvani "čarobnim kvadratima". Iako postoje poznati slučajevi korištenja tablica u oblik trokuta, koje nisu bile šire diseminirane.

Do danas, matematička matrica obično shvatio obokt pravokutnog oblika s određenim brojem stupaca i simbola koji određuju dimenzije matrice. U matematici je ovaj oblik pisanja pronašao široku primjenu za snimanje u kompaktnom obliku sustava diferencijalnih, kao i linearnih, algebarskih jednadžbi. Pretpostavlja se da je broj redaka u matrici jednak broj koji se nalazi u sustavu jednadžbi, broj stupaca odgovara koliko je nepoznata mora biti definirana u tijeku rješenja.

Osim toga, da sama matrica u tijeku njegova rješenja dovodi do pronalaženja nepoznata ugrađenih u stanje sustava jednadžbi, postoji niz algebarskih operacija koje se mogu izvesti na ovom matematičkom objektu. Ovaj popis uključuje dodavanje matrica s istim dimenzijama. Množenje matrica s odgovarajućim dimenzijama (možete umnožiti samo matricu, s jedne strane ima broj stupaca jednak broju redova matrice s druge strane). Također je moguće pomnožiti matricu s vektorom ili elementom polja ili baznog prstena (inače skalarni).

S obzirom na umnožavanje matrica, valja pažljivo pratiti da broj stupaca prvoga strogo odgovara broju redaka drugog. Inače, ova akcija preko matrica neće biti određena. Prema pravilu na kojem se matrica množi s matricom, svaki element u novoj matrici izjednačava se sa zbrojem proizvoda odgovarajućih elemenata iz redova prve matrice na elemente preuzet iz stupaca druge.

Radi jasnoće, razmotrimo primjer kako se množenje matrica odvija. Uzimamo matricu A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

pomnožite ga matricom B

3 -2

1 0

4 -3.

Element prvog reda prvog stupca rezultirajuće matrice je 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. S tim u skladu, u prvom redu na drugi element na koloni će biti jednak 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) + (- 3), i tako dalje sve dok punjenje svakog elementa novog matriksa. Pravilo matrica uključuje množenje da rezultat matrice produkta s parametrima u m x n matrice koja ima omjer n x k postaje tablicu koja ima s dimenzijama m x k. Slijedeći ovo pravilo možemo zaključiti da je proizvod takozvanih kvadratnih matrica iste naravi uvijek definiran.

Od osobina koje posjeduju množenja matrica treba dodijeliti kao osnovni činjenici da je ova operacija nije zamjenski. To je produkt matrice M do N nije jednak je umnošku N M. Ako se u kvadratnim matrica istog reda je primijetio da je njihov naprijed i obrnuto proizvod uvijek se utvrđuje, a razlikuju se samo u rezultat, pravokutna matrica poput određenih uvjeta nisu uvijek ispunjeni.

Množenje matrica ima niz svojstava koja imaju jasne matematičke dokaze. Asocijativnost umnažanje znači vjernost sljedećim matematičkim izrazom: (MN) K-M (NK), gdje je M, N i K - matrica koja ima parametre kod koje je definirano množenje. Distributivity množenje pretpostavlja da M (N + K) + = MN MK, (M + N) + K = MK NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), gdje je L - broj.

Posljedica svojstva umnožavanja matrice, pod nazivom "asocijativnost", podrazumijeva da se rad koji sadrži tri ili više čimbenika dopusti pisati bez upotrebe zagrada.

Upotrebom svojstva distribucije moguće je otvoriti zagrade kada se ispituju matrični izrazi. Obratiti pažnju, ako otvorimo zagrade, onda moramo sačuvati redoslijed čimbenika.

Korištenje matričnih izraza omogućuje ne samo kompaktno snimanje nezgrapanih sustava jednadžbi, nego olakšava proces njihove obrade i rješavanja.