Redoviti poligon. Broj stranica redovitog poligona

Trokut, kvadrat, šesterokut - ovi su likovi gotovo svi poznati. No, svi ne znaju što je redoviti poligon. Ali to je još uvijek isto geometrijski oblici. Redoviti poligon je onaj koji ima jednaki kut i strane. Postoji mnogo takvih figura, ali svi imaju ista svojstva, a na njih se primjenjuju iste formule.

Svojstva redovitih poligona

Bilo koji redoviti poligon, bilo to kvadrat ili osmerokut, može se upisati u krug. Ova osnovna svojstva često se koriste pri izradi oblika. Osim toga, krug se također može upisati u poligon. U tom će slučaju broj kontaktnih točaka biti jednak broju njegovih strana. Važno je da krug upisan u redovnom poligonu ima zajednički centar s njom. Ove geometrijske figure podložne su jednom teoremu. Bilo koja strana redovne n-gona povezana je s radijusom oko obrezanog R okruženog oko nje, pa se može izračunati pomoću sljedeće formule: a = 2R ∙ sin180 °. Kroz polumjer kruga možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.

Kako pronaći broj stranica redovitog poligona

bilo koji redoviti n-gon sastoji se od određenog broja jednakih segmenata koji, kada se kombiniraju, formiraju zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi kutovi oblikovane figure imaju istu vrijednost. Poligoni su podijeljeni na jednostavne i složene. Prva grupa uključuje trokut i trg. Složeni poligoni imaju više strana. Oni također uključuju zvjezdane figure. Za složene redovite poligone, strane se mogu naći upisivanjem u krug. Dajemo dokaz. Nacrtajte redoviti poligon s proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko nje. Navedite polumjer R. Sada zamislite da se daje neki n-gon. Ako su točke njegovih kutova ležale na kružnici i jednake jedna drugoj, onda se strane mogu pronaći pomoću formule: a = 2R ∙ sinalfa- 2.

Pronalaženje broja stranica ispisanog pravog trokuta

Ekvilateralni trokut je redoviti poligon. Formule koje se primjenjuju jednako kao na trgu i n-gon. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima istu dužinu duž strane. Kutovi su jednaki 60 Pro. Izrađujemo trokut s određenom duljinom stranica a. Poznavajući svoj medijan i visinu, može se pronaći značenje njegovih strana. Da bismo to učinili koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a = x: cosalpha-, gdje je x medijan ili visina. Budući da su sve strane trokuta jednake, dobivamo a = b = c. Tada je sljedeća tvrdnja istina: a = b = c = x: cosalpha-. Slično tome, može se naći vrijednost stranica u jednodijelnom trokutu, ali x je navedena visina. U ovom slučaju trebao bi biti projiciran isključivo na temelju ove figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranu a jednodijelnog trokuta prema formuli a = b = x: cosalpha-. Nakon pronalaženja vrijednosti a, možemo izračunati duljinu baze c. Primijenimo teorem Pitagore. Tražit ćemo vrijednost polovine baze c: 2 = radic- (x: cosalpha -) ^ 2 - (x ^ 2) = radic-x ^ 2 (1-cos ^ 2alpha-): cos ^ 2alpha- = x ∙ tgalfa-. Zatim c = 2xtgalfa-. Na ovaj jednostavan način može se naći broj stranica bilo kojeg upisanog poligona.

Izračunavanje strana kvadrata upisane u krug

Kao i svaki drugi ispisani redoviti poligon, trg ima jednaku stranu i kutove. Na njega se primjenjuju iste formule kao i za trokut. Izračunajte stranice kvadrata mogu biti kroz vrijednost dijagonale. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala dijeli kut u polovici. U početku je vrijednost bila 90 stupnjeva. Dakle, nakon podjele, dva desni trokut. Njihovi uglovi u bazi bit će jednaki 45 stupnjeva. Prema tome, svaka strana kvadrata je jednaka, i to: a = b = c = d = e ∙ cosalpha--eradic-2 2, gdje je e - je dijagonale kvadrata ili bazom formirana nakon podjele pravokutnog trokuta. Ovo nije jedini način da pronađete strane kvadrata. Ovu ćemo sliku napisati u krug. Poznavajući polumjer ovog kruga R, nalazimo stranu trga. Izračunat ćemo to kako slijedi a4 = Rradic-2. Radijusa redovitih poligona izračunavaju se iz formule R = a: 2tg (360^o: 2n), gdje a je bočna dužina.

Kako izračunati opseg n-gona

Obod n-gona je zbroj svih njegovih strana. Nije ga teško izračunati. Da biste to učinili, morate znati značenje svih stranaka. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam da pronađete opseg mnogo brže. Poznato je da svaki regularni poligon ima jednaku stranu. Stoga, kako bi se izračunao njezin perimetar, dovoljno je znati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana slike. Općenito izgleda ovako: P = an, gdje je a bočna vrijednost, a n je broj kutova. Na primjer, kako bi pronašli opseg redovitog oktogona sa strane 3 cm, morate ga pomnožiti sa 8, to jest, p = 3 ∙ 8 = 24 cm za šesterokut sa strane 5 cm izračunava se kako slijedi :. P = 5 ∙ 6 = 30 cm i tako za. svakog poligona.

Pronalaženje perimetra paralelograma, kvadrata i dijamanta

Ovisno o tome koliko stranica ima redoviti poligon, izračunajte njezin perimetar. To čini zadatak puno lakšim. Uostalom, za razliku od ostalih likova, u ovom slučaju ne morate tražiti sve njegove strane, samo jedan. Po istom principu nalazimo i perimetar četverokuta, tj. Trg i romb. Unatoč činjenici da su to različite figure, formula za njih je P = 4a, gdje je a strana. Dajmo primjer. Ako je strana rombusa ili kvadrata 6 cm, onda nalazimo obod na slijedeći način: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. U paralelogramu, samo suprotne strane su jednake. Prema tome, njegov se perimetar nalazi pomoću drugačije metode. Dakle, moramo znati duljinu a i širinu oblika. Zatim primjenjujemo formulu P = (a + b) ∙ 2. Paralogram, u kojem su sve strane i kutovi jednaki, naziva se rombo.

Pronalaženje opsega jednakostraničnog trokuta i desnog trokuta

Opseg pravilnog jednakostraničan trokut mogu se naći iz formule P = 3a, gdje a je bočna dužina. Ako je nepoznato, može se pronaći kroz medijan. U desnom trokutu, samo dvije strane imaju jednaku vrijednost. Temelj se može naći kroz Pitagorejski teorem. Nakon što vrijednosti svih triju strana postanu poznate, izračunajte opseg. Može se pronaći primjenom formule P = a + b + c, gdje a i b su jednake strane, a c baza. Sjetite se da je u jednodijelnom trokutu a = b = a, a zatim a + b = 2a, zatim P = 2a + c. Na primjer, strana jednodijelnog trokuta je 4 cm, nalazimo njegovu osnovicu i perimetar. Kalkulira se vrijednost hipotenuse pomoću Pitagoranskog teorema c = Radić-a² + u² = radic-16 + 16 = radic-32 = 5,65 cm. Sada izračunavamo opseg P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako pronaći uglove redovnog poligona

Redoviti poligon pojavljuje se u našem životu svaki dan, na primjer, obični kvadrat, trokut, oktogon. Čini se da ništa nije lakše nego izgraditi ovu figuru sami. Ali to je samo na prvi pogled. Da bi se izgradio bilo koji n-gon, potrebno je znati vrijednost njegovih kutova. Ali kako ih pronaći? Čak su i drevni znanstvenici pokušali izgraditi redovne poligone. Pretpostavljali su da se uklapaju u krug. A onda je na njemu zabilježio potrebne točke, povezivši ih ravnim linijama. Za jednostavne podatke riješen je problem gradnje. Dobivene su formulacije i teoremi. Na primjer, Euclid u svom poznatom djelu "Početak" bio je angažiran u rješavanju problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-goni. Pronašao je načine za konstruiranje i pronalaženje kutova. Razmislite o tome kako to učiniti za 15-gon. Najprije morate izračunati zbroj svojih unutarnjih kutova. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰ (n-2). Dakle, dobivamo 15-gon, tako da broj n je 15. Zamjenjujemo podatke koji su nam poznati u formuli i dobivamo S = 180⁰ (15-2) = 180⁰ h 13 = 2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutarnjih kutova 15-gona. Sada morate dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupni kutovi 15. Izračunate li izračun 2340⁰: 15 = 156⁰. Dakle, svaki unutarnji kut je jednak 156 °, sada s ravnalom i kompasom moguće je konstruirati redoviti 15-gon. Ali što je složenije n-gone? Znanstvenici se stoljećima bore za rješavanje ovog problema. Pronađen je samo u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Uspio je izgraditi 65537 gon. Od tada, problem se službeno smatra potpunim rješenjem.

Izračunavanje kutova n-gona u radijanima

Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje kutova poligona. Najčešće se izračunavaju u stupnjevima. Ali ih možete izraziti u radijanima. Kako to učiniti? Potrebno je nastaviti kako slijedi. Prvo smo saznali broj strane običnog poligona, a zatim oduzmite od toga 2. Dakle, možemo dobiti vrijednost: n - 2. pomnožiti razliku naći od broja n ( „P” = 3,14). Sada ostaje samo podijeliti dobiveni proizvod brojem kutova u n-gonu. Razmotrite ove izračune koristeći isti petnaestokutni primjer. Tako, broj n je jednak 15 primjenjujemo formulu S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2.72. To, naravno, nije jedini način izračunavanja kuta u radijanima. Jednostavno podijelite veličinu kuta u stupnjevima prema broju 57.3. Uostalom, toliki stupnjevi su jednaki jedan radijan.

Izračunavanje kutova u gradovima

Pored stupnjeva i radijana, možete pokušati pronaći kutove redovitog poligona u tuču. Ovo je učinjeno na sljedeći način. Od ukupnog broja kutova, oduzmite 2, podijelite rezultat razlike s brojem stranica redovitog poligona. Rezultat se pomnoži sa 200. Usput, takva mjerna jedinica kutova, kao što je tuča, praktički se ne koristi.

Izračunavanje vanjskih kutova n-gona

Za svaki redovni poligon, osim unutarnjeg poligona, može se izračunati i vanjski kut. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za ostale figure. Dakle, da biste pronašli vanjski kut redovitog poligona, morate znati značenje unutarnjeg poligona. Nadalje, znamo da je zbroj tih dvaju kutova uvijek 180 stupnjeva. Stoga izračuni izrađujemo na sljedeći način: 180 ° minus vrijednost unutarnjeg kuta. Smatramo razliku. To će biti jednako vrijednosti kutu koji je pored nje. Na primjer, unutarnji kutak trga je 90 stupnjeva, a vanjski kut će biti 180 ° -90 ° = 90 °. Kao što vidimo, nije teško pronaći. Vanjski kut može imati vrijednost od + 180 ° do -180 °.