Što je tangenta kruga? Svojstva tangente u krug. Zajednička tangenta na dva kruga

Sekcije, tangente - sve to stotine puta koje ste mogli čuti na lekcijama geometrije. Ali diplomiranje iz škole iza sebe prolazi kroz godine, a sve ovo znanje je zaboravljeno. Što bih se trebao sjećati?

suština

Izraz "tangent to the circle" svakako je poznat. Ali jedva, svatko će moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je ravna linija koja leži na jednoj ravnini s krugom koji ga krije samo u jednom trenutku. Mogu postojati ogroman broj njih, ali svi imaju ista svojstva, što će biti obrađeno u nastavku. Nije teško pogoditi da je točka tangencije mjesto gdje se krug i linija presijecaju. U svakom slučaju, to je jedan, ali ako ima više, onda će biti već sekan.

Povijest otkrivanja i proučavanja

Koncept tangente pojavio se u davnim vremenima. Izgradnjom ovih ravnih crta najprije u krug, a potom na elipse, parabole i hiperbole uz pomoć vladara i kompasa provedeno je čak i na početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, povijest nije zadržala ime otkrivača, ali očito je da su čak u to vrijeme ljudi znali tangente na opseg.

U suvremeno doba zanimanje za ovaj fenomen ponovno se rasplamsao - novi ciklus proučavanja ovog koncepta započeo je zajedno s otkrićem novih krivulja. Dakle, Galileo je uveo pojam cikloida, a Fermat i Descartes izgradili su tangent. Što se tiče krugova, čini se da čak ni za starješine nije bilo tajni na ovom području.

nekretnine

Polumjer iscrtan na točki križanja bit će je okomita na ravnu liniju. Ovo je osnovna, ali ne i jedina nekretnina koja ima tangent kruga. Druga važna značajka uključuje dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu točku koja leži izvan kruga, možete privući dvije tangente, a njihovi segmenti će biti jednaki. Postoji još jedan teorem o ovoj temi, međutim, rijetko se održava u okviru standardnog školskog tečaja, iako je vrlo prikladan za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne točke koja se nalazi izvan kruga privlače se tangenta i sekan. Izrađeni su segmenti AB, AC i AD. A je sjecište linija, B je točka tangencije, C i D su sjecišta. U ovom slučaju vrijedi sljedeća ravnopravnost: duljina tangente na krug, kvadrat, jednaka je proizvodu segmenata AC i AD.

Iz gore navedenog, postoji važna posljedica. Za svaku točku kruga možete stvoriti tangent, ali samo jedan. Dokaz o tome je vrlo jednostavan: teoretski pada okomito od radijusa, otkrivamo da formirani trokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedinstvena.

zgrada

Među ostalim problemima u geometriji postoji posebna kategorija, u pravilu, a ne ljubavnih učenika i učenika. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su samo kompas i ravnalo. To su građevinski zadaci. Postoje oni i izgradnja tangente.

Dakle, s obzirom na krug i točku koja leži izvan granica. I treba ih privući tangensom. Kako se to može učiniti? Prije svega, moramo nacrtati segment između središta kruga O i dane točke. Zatim, koristite kompas, podijelite ga na pola. Da biste to učinili, morate odrediti polumjer - nešto više od pola udaljenosti između središta izvornog kruga i dane točke. Nakon toga moramo izgraditi dva križanja. I radijus kompasa nije potreban za promjenu, a središte svakog dijela kruga je početna točka i O. Sjecišta lukova moraju se spojiti, što će podijeliti segment na pola. Postavite polumjer jednaku ovoj udaljenosti na kompasu. Dalje, s centrom na točki križanja, konstruirajte drugi krug. Sadržat će i izvornu točku i O. Bit će još dva sjecišta s danim krugom u problemu. Oni će biti točke tangencije za početno navedenu točku.

zanimljivo

To je bila izgradnja tangenata u krug koji je doveo do rođenja diferencijalni račun. Prvi rad na ovoj temi objavio je poznati njemački matematičar Leibniz. Predvidio je mogućnost pronalaženja maksimuma, minima i tangenata, bez obzira na frakcijske i iracionalne vrijednosti. Pa, sada se koristi za mnoge druge izračune.

Osim toga, tangenta kruga odnosi se na geometrijsko značenje tangente. Iz toga proizlazi njegovo ime. U prijevodu iz latinske tangene - "tangent". Dakle, ovaj koncept je povezan ne samo s geometrijom i diferencijalnim računom, već također s trigonometrijom.

Dva kruga

Nije uvijek tangenta utjecati samo na jednu figuru. Ako se ogroman broj ravnih linija može izvući u jedan krug, zašto onda ne obrnuto? Možeš. To je samo problem u ovom slučaju je ozbiljno komplicirano, jer je tangenta na dva kruga ne može proći kroz bilo kojem trenutku, a relativni položaj svih tih brojki može biti vrlo drugačiji.

Vrste i sorte

Kad se radi o dva kruga i jednoj ili više ravnih crta, čak i ako je poznato da su to tangente, ne postaje odmah jasno kako su sve ove figure raspoređene jedna prema drugoj. Na toj osnovi razlikuju se nekoliko sorti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće nemaju. U prvom slučaju, oni će se presijecati iu drugom dodiru. I ovdje razlikujemo dvije vrste. Ako je jedan krug, kao takav, ugrađen u drugu, onda se dodir naziva internim, ako ne, a zatim vanjskim. Razumjeti relativni položaj likova ne može se temeljiti samo na crtežu, već i na informacijama o zbroju njihovih radijusa i udaljenosti između njihovih centara. Ako su ove dvije veličine jednake, dodiruju se krugovi. Ako je prva više - presijecajte, a ako je manje - onda nemate zajedničke točke.

Dakle, to je s ravnim crtama. Za bilo koja dva kruga koja nemaju zajedničke točke, može se
konstruirati četiri tangente. Dvoje će se presijecati između figura, zovu se unutarnje. Nekoliko drugih su vanjski.

Ako govorimo o krugovima koji imaju zajedničku točku, zadatak je ozbiljno pojednostavljen. Činjenica je da za svaki međusobni dogovor u ovom slučaju tangenta će imati samo jedan. I proći će kroz točku njihovog križanja. Dakle, izgradnja teškoće neće uzrokovati.

Ako likovi imaju dvije točke sjecišta, onda za njih može biti konstruirana ravna crta tangenta kružnici, obje i druge, ali samo vanjske. Rješenje ovog problema slično je onome što ćemo kasnije razgovarati.

Rješavanje problema

I unutarnja i vanjska tangenta na dva kruga u konstrukciji nisu tako jednostavna, iako je taj problem riješen. Činjenica je da se za to koristi pomoćna slika, tako da sami možete doći do te metode je vrlo problematično. Dakle, daju se dva kruga s različitim radijusima i centrima O1 i O2. Za njih trebamo izgraditi dva para tangenata.

Prije svega, u blizini središta većeg kruga, moramo izgraditi pomoćni. U ovom slučaju, razlika između radijusa dviju izvornika treba biti uspostavljena na kompasu. Iz središta manjeg kruga su konstruirane tangente na pomoćni krug. Nakon toga, od O1 i O2, okomice na te ravne linije izrađuju se prije prelaska s izvornim slikama. Kao što slijedi iz osnovne imovine tangente, nalaze se potrebne točke na oba kruga. Problem je riješen, barem, njegov prvi dio.

Da bi se izgradile interne tangente, nužno je praktički riješiti sličan problem. Opet nam je potrebna pomoćna figura, ali ovaj će put njegov radijus biti jednak zbroju izvornih. Na njega su tangente izgrađene od središta jednog od tih krugova. Daljnji tijek rješenja može se razumjeti iz prethodnog primjera.

Tangenta u krug ili čak dva ili više nije takav težak zadatak. Naravno, matematičari su dugo prestali riješiti takve probleme ručno i povjerenje izračuna na posebne programe. Ali nemojte misliti da sada ne trebate biti u mogućnosti to učiniti sami, jer pravilno formulirati zadatke za računalo morate puno raditi i razumjeti. Nažalost, postoje strahovi da će nakon završnog prijelaza na testni oblik kontrole znanja građevinski zadaci uzrokovati sve veće poteškoće studentima.

Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenata za više krugova, to nije uvijek moguće, čak i ako su u istoj ravnini. Ali u nekim slučajevima možete pronaći takvu ravnu liniju.

Primjeri iz života

Uobičajena tangenta na dva kruga često se nalazi u praksi, iako to nije uvijek vidljivo. Kontejneri, sustavi blokova, remeni remenica, napetost niti u šivaćem stroju, pa čak i samo lanac bicikla, svi su primjeri iz života. Stoga nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u inženjeringu, fizici, gradnji i mnogim drugim područjima oni pronađu praktičnu primjenu.