Dodatak i množenje vjerojatnosti: primjeri rješenja i teorije

Proučavanje teorije vjerojatnosti počinje s rješavanjem problema koji uključuju zbrajanje i množenje vjerojatnosti. To je vrijedno spomena jednom tog studenta tijekom razvoja ovog područja znanja može suočiti problem: ako su fizički ili kemijski procesi može biti predstavljen vizualno i shvatiti empirijski, razina matematičkog apstrakcije je vrlo visoka, a razumijevanje ovdje dolazi samo s iskustvom.

Međutim, igra vrijedi za svijeće, jer su formule - kao što je opisano u ovom članku, i složenije - danas se koriste svugdje i mogu biti korisne u radu.

podrijetlo

Čudno, poticaj razvoju ovog dijela matematike bio je kockanje. Doista, kockanje, bacanje novčića, poker, rulet su tipični primjeri u kojima se upotrebljavaju dodavanje i umnožavanje vjerojatnosti. Na primjeru zadataka u bilo kojem udžbeniku to se može jasno vidjeti. Ljudi su zainteresirani da nauče kako povećati svoje šanse za pobjedu, a moram reći, neki su uspjeli u tome.

Na primjer, u XXI stoljeću, čovjek čije ime neće biti objavljeni, koristili smo akumulirano znanje o stoljećima doslovno „čisto iz” casino pobjednički ruleta desetke milijuna dolara.

Međutim, unatoč povećanom interesu za predmet, samo je dvadesetom stoljeću razvijen teorijski okvir koji je "theeor" učinio punopravnim komponenta matematike. Danas, praktički u bilo kojoj znanosti, možete pronaći izračune koji koriste probabilističke metode.

primjenjivost

Važna točka u korištenju dodavanja i umnožavanja vjerojatnosti, uvjetna vjerojatnost je izvedivost središnjeg graničnog teorema. U suprotnom, iako ga student ne može ostvariti, svi izračuni, koliko god se čini vjerodostojnima, bit će netočni.

Da, visoko motivirani student je u iskušenju da iskoristi nova znanja u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju trebali biste usporiti nekoliko i strogo navesti opseg primjenjivosti.

teorija vjerojatnosti se bavi slučajnih događaja koji su empirijski predstavljaju rezultate eksperimenata da možemo roll kockice sa šest lica, povucite karticu iz palubi, predvidjeti broj neispravnih dijelova u stranci. Međutim, u nekim je pitanjima apsolutno nemoguće koristiti formule iz ovog dijela matematike. Značajke razmatranja vjerojatnosti događaja, dodavanja i umnožavanja događaja raspravljamo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.

Osnovni pojmovi

Nasumičan događaj je proces ili rezultat koji se možda neće pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacamo sendvič - može pasti uljem ili maslacem dolje. Bilo koji od dva ishoda bit će slučajan, a mi ne znamo unaprijed što će se dogoditi.

Kada proučavamo dodavanje i umnožavanje vjerojatnosti, trebamo još dva koncepta.

Zajedno zovu takve događaje, izgled jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Na primjer, dvije osobe istodobno pucaju na metu. Ako jedan od njih uspješno puca, to ne utječe na sposobnost drugog da uđe u "bikovo oko" ili propusti.

Nespojiv će biti takav događaj, čija je pojava istodobno nemoguća. Na primjer, izvlačenje samo jedne lopte iz kutije, ne možete istovremeno dobiti plavo i crveno.

oznaka

Pojam vjerojatnosti naziva se latinskim velikim slovom P. Nadalje u zagradama su argumenti koji označavaju neke događaje.

U formulama dodavanja teorema, uvjetne vjerojatnosti, teorema množenja, vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A + B, AB ili A | B. Oni će se izračunati na različite načine, sada se obraćamo njima.

dodatak

Razmotrimo slučajeve u kojima se koriste formule za dodavanje i umnožavanje vjerojatnosti.

Za nedosljedne događaje, najjednostavnija formula za dodavanje je relevantna: vjerojatnost bilo kojeg slučajnog ishoda jednaka je zbroju vjerojatnosti svakog od ovih ishoda.

Pretpostavimo da postoji kutija s 2 plave, 3 crvene i 5 žutim kuglicama. Ukupno u polju ima 10 stavki. Kakav je dio istine izjave da ćemo izvaditi plavu ili crvenu kuglu? To će biti jednako 2/10 + 3/10, odnosno pedeset posto.

U slučaju nespojivih događaja, formula postaje složenija jer se dodaje dodatni izraz. Vratimo se u jedan odlomak, nakon razmatranja neke druge formule.

množenje

Dodavanje i umnožavanje vjerojatnosti nezavisnih događaja koriste se u različitim slučajevima. Ako eksperimentalni uvjeti, mi smo zadovoljni s bilo kojim od dva moguća ishoda, možemo računati summu- ako želimo dobiti dva sigurna ishod jedni druge, mi ćemo posegnuti za korištenje različitih formula.

Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, najprije ćemo izvaditi plavu kuglu, a zatim crvenu. Prvi broj koji znamo je 2/10. Što će se sljedeće dogoditi? Sharov ostaje 9, crveni među njima svejedno - tri komada. Prema izračunima, to će biti 3/9 ili 1/3. Ali što sada radite s dva broja? Točan odgovor je da ga pomnožite kako biste dobili 2/30.

Zajednički događaji

Sada se možete vratiti na sumu formule za zajedničke događaje. Zašto smo ometali temu? Da biste saznali kako se vjerojatnosti množe. Sada nam je ovo znanje korisno.

Već znamo što će biti prva dva pojma (oni su isti kao u prethodnoj formulaciji), sada moramo oduzeti proizvod vjerojatnosti koje smo upravo naučili izračunati. Za jasnoću, upišite formulu: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Ispada da se u jednom izrazu koriste i dodavanje i množenje vjerojatnosti.

Recimo da moramo riješiti bilo koji od dva zadatka kako bismo dobili kredit. Prvo možemo riješiti vjerojatnošću od 0,3, a druga sa 0,6. Otopina: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. Obavijest, jednostavno zbrajanje brojeva ovdje nije dovoljno.

Uvjetna vjerojatnost

Konačno, postoji koncept uvjetne vjerojatnosti, argumenti su označeni u zagradama i odvojeni vertikalnom linijom. Zapis P (A | B) glasi: "vjerojatnost događaja A pod uvjetom događaja B".

Pogledajmo primjer: prijatelj vam daje neki uređaj, neka bude telefon. Može se slomiti (20%) ili neispravno (80%). Svaki uređaj koji imate u rukama možete popraviti s vjerojatnosti 0,4 ili ne moći to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete doći do pravilne osobe s vjerojatnosti od 0,7.

Lako je vidjeti kako se u ovom slučaju manifestira uvjetna vjerojatnost: ne možete doći do osobe ako je telefon slomljen, a ako to radi, ne morate ju popraviti. Dakle, da biste dobili rezultate na "drugoj razini", morate saznati koji se događaj dogodio na prvoj razini.

izračuni

Razmotrite primjere rješavanja problema prilikom dodavanja i umnožavanja vjerojatnosti, koristeći podatke iz prethodnog odlomka.

Za početak, naći ćemo vjerojatnost da ćete popraviti uređaj koji vam je dan. Za ovo, prvo, ona mora biti neispravan, a drugo, morate se nositi s popravkom. Ovo je tipičan problem s množenjem: dobivamo 0,2 * 0,4 = 0,08.

Koja je vjerojatnost da ćete odmah doći do pravilne osobe? Lakše nego jednostavno: 0,8 * 0,7 = 0,56. U tom je slučaju otkrio da telefon radi i uspješno je izvršio poziv.

Konačno, razmotrite ovu mogućnost: imate razbijeni telefon, popravite je, zatim nazovite broj, a osoba na suprotnom kraju podigla je telefon. Ovdje je već potrebno umnožavanje tri komponente: 0.2 * 0.4 * 0.7 = 0.056.

A što ako imate dva ne-radna telefona? Koliko ste vjerojatno popravili barem jedan od njih? Ovo je zadatak na dodavanje i umnožavanje vjerojatnosti, budući da se koriste združeni događaji. Otopina: 0,4 + 0,4-0,4 * 0,4 = 0,8-0,16 = 0,64. Dakle, ako u rukama dobijete dva slomljena uređaja, popravit ćete se u 64% slučajeva.

Pažljivom korištenju

Kao što je navedeno na početku članka, upotreba teorije vjerojatnosti treba biti namjerna i svjesna.

Veći niz eksperimenata, bliže teoretski predvidjeti vrijednost proizlazi praksi. Na primjer, bacamo novčić. U teoriji, znajući za postojanje vjerojatnosti zbrajanje i množenje formulama, možemo predvidjeti koliko vremena će pasti „orao” i „repova”, ako radimo eksperiment 10 puta. Proveli smo eksperiment, a slučajno omjer pao stranke bile 3 do 7. Međutim, ako je serija od 100, 1000 ili više pokušaja, čini se da raspršuju zemljište svega približava teorijski: 44-56, 482-518 i tako dalje.

I sada zamislite da se ovaj eksperiment ne provodi s novcem, ali s proizvodnjom neke najnovije kemijske tvari, vjerojatnost dobivanja koju ne znamo. Proveli smo deset eksperimenata i, ako ne budemo imali uspješan rezultat, mogli bismo sažeti: "Nemoguće je dobiti tvar". Ali tko zna, da li smo jedanaesti pokušaj, bi li postigli cilj ili ne?

Dakle, ako se odnosi na nepoznato, na neistraženo područje, teorija vjerojatnosti možda neće biti primjenjiva. Svaki sljedeći pokušaj u ovom slučaju može biti uspješan i generalizacija tipa "X ne postoji" ili "X je nemoguća" bit će preuranjena.

Zaključne primjedbe

Dakle, razmatrali smo dvije vrste dodataka, množenja i uvjetnih vjerojatnosti. S daljnjom proučavanjem ovog područja potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi svaka specifična formula. Osim toga, potrebno je zamisliti jesu li vjerojatno probabilističke metode općenito primjenjive u rješavanju vašeg problema.

Ako vježbate, nakon nekog vremena počinjete obavljati sve potrebne operacije isključivo u vašem umu. Za one koji vole igre s kartama, ova se vještina može smatrati izuzetno vrijednom - znatno povećati svoje šanse za pobjedu, samo računajući vjerojatnost ispadanja kartice ili odijela. Međutim, primljeno znanje možete lako pronaći aplikaciju u drugim područjima aktivnosti.