Kvadratne jednadžbe - primjeri rješenja, singularnosti i formula

U suvremenom društvu, sposobnost obavljanja akcija s jednadžbama koje sadrže varijable kvadrata može biti korisna u mnogim područjima djelatnosti i široko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. Dokaz toga može poslužiti kao dizajn plovnih i plovnih putova, zrakoplova i raketa. Pomoću takvih izračuna određuju se putanje gibanja različitih tijela, uključujući kozmičke objekte. Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi pronalaze primjenu ne samo u ekonomskim predviđanjima, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Moguće je da su vam potrebne u planinarenju, sportu, trgovinama pri kupovini iu drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Podijelili smo izraz u čimbenike sastavnica

Stupanj jednadžbe određuje se maksimalnom vrijednošću stupnja y varijable koje sadrži navedeni izraz. U slučaju da je jednak 2, tada se takva jednadžba naziva kvadratna.

Ako se govori o jeziku formule, onda ti izrazi, bez obzira na izgled, uvijek se mogu svesti na oblik kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: sjekira² (to jest, varijabla s kvadratom s vlastitim koeficijentom), bx (nepoznato bez kvadrata s vlastitim koeficijentom), i c (slobodna komponenta, to jest redni broj). Sve to na desnoj strani je jednako 0. U slučaju kada takav polinom ne sadrži jedan od njegovih konstitutivnih pojmova, osim sjekira², to se naziva nepotpunom kvadratnom jednadžbom. Primjeri s rješenjem takvih problema, važnost varijabli u kojima je lako pronaći, treba prvo razmotriti.

Ako izraz izgleda ovako na takav način da termini na desnoj strani izraza imaju dvije, točnije sjekire² i bx, najlakše je pronaći x uzimajući varijablu iz zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x (ax + b). Nadalje, postaje očito da ili x = 0, ili se problem smanjuje za pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax + b = 0. To je diktirano jednim od svojstava umnožavanja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora daje 0 kao rezultat samo ako je jedan od njih nula.

primjer

8x² - 3x = 0

x (8x - 3) = 0

Nastavljamo prema pravilu koji smo upravo opisali.

x = 0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat toga dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0.375.

Jednadžbe ove vrste mogu opisati pomicanje tijela pod djelovanjem gravitacije, pokretanje pokreta s određene točke koja se uzima kao podrijetlo. Ovdje matematički zapis ima slijedeći oblik: y = v₀t +²/ 2. Uvrštavanjem potrebne vrijednosti poistovjećujući desnu stranu 0 i pronalaženje moguće nepoznato, to je moguće znati proteklo vrijeme od podizanja tijela do trenutka njegova pada, kao i mnoge druge vrijednosti. Ali o tome ćemo kasnije razgovarati.

Proširivanje izraza u multiplikatore

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje tih problema u složenijim slučajevima. Razmotrimo primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X² - 33x + 200 = 0

Taj kvadratni trinomial je završen. Za početak, mi pretvaramo izraz i proširimo ga u multiplikatore. Dva su njih: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat toga imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu dopuštaju ovom metodu da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x³ + 2x² - 18x - 18 = 0. Za proširenje desne strane varijablom faktora, njihove tri zavoja, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat toga, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3 - -1-3.

Vađenje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednadžbe drugog reda jest izraz u jeziku slova predstavljen na takav način da je desna strana konstruirana od komponenti sjekira² i c. Ovdje, kako bi se dobila vrijednost varijable, slobodni pojam prenosi se na desnu stranu, a zatim se kvadratni korijen ekstrahira s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da su u ovom slučaju korijeni jednadžbe obično dva. Iznimke su samo jednakosti koje uopće ne sadrže izraz c, gdje je varijabla nula, kao i varijante izraza, kada desna strana postaje negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, budući da gore navedene radnje ne mogu biti izvedene s korijenima. Treba razmotriti primjere kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

3x²- 48 = 0

3x² = 48

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe su brojevi -4 i 4.

Izračun parcele zemljišta

Potreba za ovom vrstom obračuna pojavio u antičko doba, jer razvoj matematike na mnogo načina u tim danima je zbog potrebe da se određuju s najvećom preciznošću površinu i opseg zemljišta.

Treba uzeti u obzir i primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na osnovu problema takve vrste.

Dakle, pretpostavimo da je pravokutni komad zemlje, čija je dužina 16 metara dulja od širine. Potrebno je pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njeno područje 612 m².

Spuštanje na posao prvo napravimo potrebnu jednadžbu. Neka x bude širina sekcije, a njegova dužina će biti (x + 16). Od napisano znači da je područje daje x (x + 16), koji pod uvjetom našeg problema, to je 612. To znači da je X (x + 16) = 612.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a taj izraz je upravo takav, ne može se postići prethodnim postupkom. Zašto? Premda lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste ostale metode.

diskriminacijska

Prije svega, izvršavamo neophodne transformacije, tada će izgled ovog izraza izgledati ovako: x² + 16x - 612 = 0. To znači da smo primili izraz u obliku koji odgovara gore navedenom standardu, gdje a = 1, b = 16, c = -612.

To može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi putem diskriminanta. Ovdje se potrebni proračuni provode prema shemi: D = b² - 4ac. Ova pomoćna količina ne samo da omogućuje pronalaženje nepoznatih količina u jednadžbi drugog reda, nego određuje broj mogućih varijanti. U slučaju kada su D> 0, postoje dva, za D = 0 postoji jedan korijen. U slučaju kada D<0, nema šanse za rješavanje jednadžbe uopće.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminantni je: 256-4 (-612) = 2704. Ovo ukazuje na to da postoji odgovor na naš problem. Ako znamo, na primjer, diskriminantan, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti primjenom formule ispod. To vam omogućuje izračunavanje korijena.

To znači da u predstavljenom slučaju: x₁= 18, x₂= -34. Drugo ostvarenje iz dileme ne može biti otopina, jer je veličina zemljišta dijela ne može se mjeriti u negativne vrijednosti, onda X (tj širina dijela) je 18 m Stoga računamo duljinu :. 18 + 16 = 34, a opseg 2 (34+ 18) = 104 (m²).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavati kvadratne jednadžbe. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dani u nastavku.

1) 15x² + 20x + 5 = 12x² + 27x + 1

Sve prebacujemo na lijevu stranu jednadžbe, pretvaramo transformaciju, tj. Dobivamo oblik jednadžbe, koji se zove standard, i ravnati ga na nulu.

15x² + 20x + 5 - 12x² - 27x - 1 = 0

Dodajući ove, definiramo diskriminantan: D = 49 - 48 = 1. Dakle, naša jednadžba ima dva korijena. Izračunamo ih prema gore navedenoj formuli, a to znači da će prvi od njih biti 4/3, a drugi.

2) Sada riješite zagonetke druge vrste.

Doznajemo postoje li korijeni x² - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, smanjujemo polinom u odgovarajućem poznatom obliku i izračunavamo razliku. U gornjem primjeru, nije potrebno proizvesti kvadratnu jednadžbu, budući da suština problema uopće nije. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da zaista nema korijena.

Vieta teorem

Prikladno je riješiti kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminanta, kada se kvadratni korijen izvlači iz vrijednosti potonjeg. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješenja kvadratnih jednadžbi pomoću Vietovog teorema. Nazvano je u čast Francois Vieta, koji je živio u 16. stoljeću u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zbog svoje matematički talent i veze na sudu. Možete vidjeti njegov portret u članku.

Uzorak koji je promatrao slavni Francuz bio je sljedeći. Pokazao je da su korijeni jednadžbe u zbroju numerički jednaki p = b / a, a njihov proizvod odgovara q = c / a.

Pogledajmo sada određene zadatke.

3x² + 21x - 54 = 0

Za jednostavnost prevodimo izraz:

x² + 7x - 18 = 0

Koristimo teetem Vieta, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Stoga dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere vidjet ćemo da se te vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Grafikon i parabola jednadžba

Koncepti kvadratna funkcija i kvadratne jednadžbe usko su povezane. Primjeri toga već su dani ranije. Sada razmislite o nekim matematičkim zagonetkama malo više. Bilo koja jednadžba opisanog tipa može se vizualizirati. Slična ovisnost, nacrtana u obliku grafikona, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, to jest, točku iz koje izlaze grane. Ako su> 0, oni idu visoko do beskonačnosti, i kada a<0, izvučeni su. Najjednostavniji primjer takve ovisnosti je funkcija y = x². U ovom slučaju, u jednadžbi x²= 0, nepoznato može uzeti samo jednu vrijednost, tj. X = 0, što znači da postoji samo jedan korijen. To ne čudi, jer ovdje D = 0, jer a = 1, b = 0, c = 0. Korijenska formula (točnije, jedan korijen) kvadratne jednadžbe napisana je kao: x = -b / 2a.

Vizualne slike funkcija pomažu u rješavanju bilo kakvih jednadžbi, uključujući i kvadratne. Ova metoda se zove grafički. A vrijednost varijable x je koordinata apscisa na točkama gdje je linija grafikona interseksa s 0x. Koordinate vrhova mogu se naći iz formule x₀ = -b / 2a. I, zamjenom dobivene vrijednosti u početnu jednadžbu funkcije, može se pronaći y₀, to jest, druga koordinata vrha parabole, koja pripada osi ordinata.

Sjecište parabola grane s aksijalnom osovinom

Postoji mnogo primjera s rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje opći zakoni. Razmotrite ih. Jasno je da je sjecište grafikona s osi 0x za> 0 moguće samo ako je y₀ uzima negativne vrijednosti. A za<0 koordinatu y₀ mora biti pozitivan. Za navedene varijante D> 0. Inače D<0. I kada je D = 0, vrh parabola nalazi se izravno na osi 0x.

Prema parceli parabole, također se može odrediti korijen. Razgovor je također istinito. To jest, ako ne dobijete intuitivnu sliku kvadratne funkcije, nije lako, možete izravnati desnu stranu izraza na 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. I znajući točku raskrižja sa osi 0x, lakše je grafikon grafikona.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže varijablu, kvadrat, u starim danima, ne samo da su matematički izračuni i odredili područja geometrijskih figura. Takvi su izračuni bili potrebni starješinama za grandioznim otkrićima iz područja fizike i astronomije, kao i za sastavljanje astroloških prognoza.

Kao što pretpostavljaju suvremeni znanstvenici, jedno od prvih rješenja kvadratnih jednadžbi bilo je okupirano od stanovnika Babilona. Dogodilo se četiri stoljeća prije početka naše ere. Naravno, njihovi izračuni radikalno su se razlikovali od onih koji su sada usvojeni i pokazali su se primitivnima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Strani su im bili i druge suptilnosti od onih koje neki školarac sadašnjosti zna.

Možda, čak i prije Babilonskih učenjaka, mudrac iz Indije Baudhayama bio je angažiran u rješavanju kvadratnih jednadžbi. Dogodilo se oko osam stoljeća prije početka Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode rješavanja koje je naveo, bile su najjednostavnije. Osim toga, kineski mathematicians su zainteresirani za slična pitanja u starim danima. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom XIII. Stoljeća, ali kasnije su u njihovom radu koristili tako veliki znanstvenici kao Newton, Descartes i mnogi drugi.