Metoda tangenata: opis

Muče u školi rješavanja jednadžbe u matematici, mnogi studenti često vjeruju da je njihovo vrijeme apsolutno ništa, a ipak takva vještina će doći u ruci u životu, ne samo one koji se odluče slijediti u stopama Descartes, Euler ili Lobachevsky.

U praksi, primjerice u medicini ili ekonomiji, vrlo često postoje situacije kada je potrebna stručnjak kako bi saznali kada je koncentracija aktivne tvari lijeka dostigne željenu razinu u krvi pacijenta, ili je potrebno izračunati vrijeme koje je potrebno za određeni posao kako bi postala profitabilna.

Najčešće se radi o rješavanju nelinearnih jednadžbi različitih tipova. Da biste to učinili što je brže moguće, posebno pomoću računala, dopustite numeričke metode. Oni su dobro proučeni i odavno su dokazani učinkovitima. Među njima je i metoda Newtonovih tangenata, na koje je ovaj članak posvećen.

Formuliranje problema

U ovom slučaju, je funkcija g, koji je definiran u intervalu (a, b) i dobiva njemu određenih vrijednosti, tj. E. svaki X, u vlasništvu (a, b) može povezati određeni broj g (x).

Potrebno je utvrditi sve korijene jednadžbe iz intervala između točaka a i b (uključujući krajeve) za koje je funkcija resetirana. Očito, to su točke raskrižja y = g (x) s OX.

U nekim je slučajevima prikladnije zamijeniti g (x) = 0 analognim oblikom g₁(x) = g₂(X). U ovom slučaju, apscisa (vrijednost x) točaka presjeka grafikona g₁(x) i g₂(X).

Rješenje nelinearne jednadžbe je također važno za optimizacijske probleme za koje je stanje lokalnog ekstremuma inverzija derivata funkcije. Drugim riječima, takav se problem može reducirati na pronalaženje korijena jednadžbe p (x) = 0, gdje je p (x) identitet g `(x).

Metode rješavanja

Za neke vrste nelinearnih jednadžbi, na primjer kvadratne ili jednostavne trigonometrijske jednadžbe, korijene se mogu naći na prilično jednostavnim načinima. Posebno, svaki učenik zna formule pomoću kojih možete lako pronaći vrijednosti argumenta točaka na kojima se kvadratni trinomial resetira.

Metode za ekstrakciju korijena nelinearnih jednadžbi obično se dijele na analitičku (izravnu) i iterativnu. U prvom slučaju, željeno rješenje ima formu formule, pomoću koje se za neki broj aritmetičkih operacija može naći vrijednost nepoznatog korijena. Slične su metode razvijene za eksponencijalne, trigonometrijske, logaritamske i najjednostavnije algebarske jednadžbe. Za ostalo, moramo koristiti posebne numeričke metode. Jednostavno ih je implementirati uz pomoć računala koja vam omogućuju da pronađete korijene potrebne točnosti.

Među njima je takozvana numerička metoda tangenata, a potonji je predložio veliki znanstvenik Isaac Newton krajem 17. stoljeća. U sljedećim stoljećima je metoda opetovano poboljšana.

lokalizacija

Numerički načini rješavanja složenih jednadžbi koji nemaju analitička rješenja obično se provode u 2 faze. Prvo ih morate lokalizirati. Ova operacija sastoji se u pronalaženju takvih segmenata na OX, na kojem postoji jedan korijen rješive jednadžbe.

Razmotrite interval [a, b]. Ako g (x) da nema diskontinuiteta i poprima vrijednosti na krajnjim točkama suprotnih znakova, između A i B ili u sebi je najmanje jedan korijen g (x) = 0. Za to je potrebno samo da se g (x) na [a, b] je monoton. Kao što je poznato, ova imovina će posjedovati ovu imovinu pod uvjetom da znak-konstanta grsquo- (x).

Drugim riječima, ako je [a, b] g (x) nema diskontinuiteta i monotono povećava ili smanjuje, a njegova vrijednost na kraju točke nemaju isti znak, a zatim na [a, b] postoji jedan i samo jedan korijen g (x ).

Treba napomenuti da ovaj kriterij neće vrijediti za korijene jednadžbi koje su višestruke.

Rješenje jednadžbe po bijegu

Prije razmatranja složenijih numeričkih metode (metoda tangenta i njegovih sorti) vrijedi upoznati najjednostavniji način otkrivanja korijena. To se naziva dihotomija i odnosi se na intuitivno metode. algoritam pronalaženje korijena temelji se na teoremu da ako za g (x) koji je kontinuiran na [x₀, x₁] ispunjen je uvjet neslaganja, a zatim na razmatranom intervalupostoji barem jedan korijen g (x) = 0.

Da biste ga pronašli, morate podijeliti segment [x₀, x₁] na pola i označite srednju točku kao x₂. Zatim postoje dvije moguće varijante: g (x₀) * g (x₂) ili g (x₂) * g (x₁) jednaka ili manja od 0. Odaberite onu za koju je istina ova nejednakost. Ponovite gore opisani postupak dok duljina [x₀, x₁] ne postaje manje od neke unaprijed odabrane vrijednosti koja određuje točnost određivanja korijena jednadžbe na [x₀, x₁].

Do metodom, prednosti su pouzdanost i jednostavnost, ali nedostatak - potreba da se na početku identificirati točke na kojoj g (x) poprima različite znakove, tako da se ne može primijeniti na korijene od kojih su čak višestrukost. Osim toga, ne generalizira se u slučaju sustava jednadžbi ili ako govorimo o složenim korijenima.

Primjer 1

Želimo riješiti jednadžbu g (x) = 2x⁵ + x - 1 = 0. Kako ne bi dugo tražili prikladan segment, izrađujemo grafikon koristeći, primjerice, poznati Excel program. Vidimo da je kao segment za lokalizaciju korijena bolje uzeti vrijednosti iz intervala [0,1]. Možemo biti sigurni da barem jedan korijen željene jednadžbe postoji na njemu.

g `(x) = 10x⁴ + 1, to jest monotonno povećava funkciju, stoga postoji samo jedan korijen u odabranom intervalu.

Zamijenimo krajnje točke u jednadžbi. Imamo 0 i 1. U prvom koraku uzmite točku 0,5 za rješenje. Zatim g (0,5) = -0,4375. Dakle, sljedeći segment za dijeljenje na pola će biti [0.5, 1]. Srednja točka je 0,75. U njemu je vrijednost funkcije 0.226. Uzimamo u obzir segment [0,5, 0,75] i njegov srednji, koji je na točki 0,625. Izračunamo vrijednost g (x) na 0,625. To je -0,11, tj. Negativno. Oslanjajući se na ovaj rezultat, odabiremo interval [0,625, 0,75]. Dobivamo x = 0,6875. Zatim g (x) = -0,00532. Ako je točnost rješenja 0,01, možemo pretpostaviti da je traženi rezultat 0,6875.

Teoretska osnova

Ova metoda pronalaženja korijena metodom Newtonove tangente popularna je zbog svoje vrlo brze konvergencije.

Temelji se na činjenici da ako x_n - aproksimacija na korijen f (x) = 0, tako da f C¹, tada će sljedeća aproksimacija biti na mjestu gdje je jednadžba tangente na f (x) nula,

Zamjenjujemo x = x_{n + 1} i nula y.

tada metoda algoritma tangenti izgledaju ovako:

Primjer 2

Pokušajmo upotrijebiti klasičnu metodu Newtonove tangente i pronaći rješenje neke nelinearne jednadžbe koja je teško ili nemoguće pronaći analitički.

Neka bude potrebno identificirati korijene za x³ + 4x - 3 = 0 s nekom točnošću, na primjer, 0,001. Kao što je poznato, graf bilo koje funkcije kao polinoma ak stupnja trebao barem jednom prijeći na osi x, tj. E. Ne može se sumnjati u postojanje korijena.

Prije rješavanja našeg primjera metodom tangenata, konstruiramo grafikon f (x) = x³ + 4x - 3 poena. To je vrlo lako za napraviti, primjerice, pomoću Excel tabličnog procesora. Iz dobivenog grafikona vidjet će se da je na [0,1] njegovo sjecište s osi OX i funkcija y = x³ + 4x - 3 monotonno povećava. Možemo biti sigurni da su [0,1] jednadžbe x³ + 4x - 3 = 0 ima rješenje i jedinstveno je.

algoritam

Svako rješenje jednadžbi metodom tangenta počinje izračunavanjem f `(x). Imamo:

Tada će drugi derivat imati oblik x * 6.

Pomoću ovih izraza možemo zapisati formulu za pronalaženje korijena jednadžbe metodom tangenata u obliku:

Dalje, moramo odabrati inicijalnu aproksimaciju, tj. Proučiti definiciju koja je točka početna točka (vol. X₀) za iterativni proces_. Smatramo krajevima [0,1]. Za nas je prikladan, za koji je stanje multivaluednosti funkcije i drugog derivata u x₀. Kao što vidimo, kada je x zamijenjen₀ = 0 krši se, ali x₀ = 1 je vrlo prikladan.

Dakle, kako

onda ako smo zainteresirani za rješenje metodom tangenata s točnosti e, onda vrijednost x_n može se smatrati zadovoljavanjem zahtjeva problema, pod uvjetom da nejednakost | f (x_n) / frsquo- (x_n) |< e.

U prvom koraku rješenje problema tangente koje imamo:

• x₁ = x₀ - (x₀³ + 4x₀ - 3) / (3x₀² + 4) = 1 - 0,2857 = 0,71429;
• budući da stanje ne zadržava, idemo dalje;
• dobivamo novu vrijednost za x₂, što je 0,674;
• primjećujemo da omjer vrijednosti funkcije i derivata u x₂ manje od 0,0063, zaustavljamo postupak.

Metoda tangenata u programu Excel

Rješavanje prethodnog primjera može biti puno lakše i brže ako ne izračunate ručno (na kalkulatoru), ali koristite mogućnosti stolnog procesora tvrtke Microsoft.

Da biste to učinili, u programu "Excel" morate izraditi novu stranicu i ispuniti njegove ćelije pomoću sljedećih formula:

• u C7 pišemo "= DEGREE (B7-3) + 4 * B7-3";
• u D7 unosimo "= 4 + 3 * DEGREE (B7-2)";
• u E7 pišemo "= (DEGREE (B7-3) - 3 + 4 * B7) / (3 * DEGREE (B7-2) + 4)";
• u D7 unosimo izraz "= B7 - E7";
• u B8 ulazimo u uvjetu formule = = IF (E7 < 0,001- "Dovršetak iteracija" - D7) ".

Dalje se zahtijeva da "formulare" u kolonama C, D i E prvo do dvije linije, a nakon što se vrijednosti pojavljuju u njima, učini isto sa stupcem B.

Je problem već u ćeliji B10 će se prikazati „kraj ponavljanja”, a rješenje će morati uzeti broj, napisan na stanici koja je jedan redak gore. Za njega se može razlikovati i razdvojiti „rastezljiv” stup, postoji formula-tipkanje stanje, prema kojima je rezultat će biti napisana ako je sadržaj u određene ćelije, stupac B postaje „kraj procesa.”

Provedba u Pascalu

Pokušajmo dobiti rješenje nelinearne jednadžbe y = x⁴ - 4 - 2 x x metoda tangenata u Pascalu.

Koristimo pomoćnu funkciju koja će pomoći u izračunu približnog izračuna f `(x) = (f (x + delta) - f (x)) / delta. Kao uvjet za ispunjavanje iterativnog procesa odabiremo nejednakost | x₀-x₁| |< nema mali broj. U Pascalu ga pišemo kao abs (x0 - x1)<= epsilon.

Program vrijedi spomenuti jer ne zahtijeva ručni izračun derivata.

Metoda akorda

Razmotrimo još jedan način otkrivanja korijena nelinearnih jednadžbi. Proces iteracije je da se kao uzastopne aproksimacije na željeni korijen za f (x) = 0, vrijednosti točaka presjeka akorda s apscisama krajnje točke a i b s OX, označene kao x₁, ..., x_n . Imamo:

Za točku gdje akord presijeca os OX, izraz je napisan kao:

Neka druga izvedba bude pozitivna za χ e [a, b] (suprotni slučaj smanjuje se na predmet koji se razmatra ako pišemo f (x) = 0). U ovom slučaju grafikon y = f (x) je konveksna krivulja ispod i nalazi se ispod akorda AB. Može biti 2 slučaja: kada funkcija ima pozitivnu vrijednost u točki a ili je negativna u točki b.

U prvom slučaju, kao stacionarni, odabiremo kraj a, i za x₀ uzeti točku b. Zatim sukcesivne aproksimacije, prema gore prikazanoj formi, čine sekvencu koja se monotonno smanjuje.

U drugom slučaju, kraj b je nepokretan za x₀ = a. Vrijednosti x dobivene u svakom koraku iteracije čine sekvencu koja se monotonno povećava.

Tako možemo reći:

• fiksiran u metodi akorda je kraj segmenta gdje se znakovi funkcije i drugi derivat ne podudaraju;
• aproksimacije za korijen x - x_m Lezi iz nje na strani gdje f (x) ima znak koji se ne podudara s znakom f (x).

Iteracije se mogu nastaviti dok se ne ispunjavaju uvjeti za blizinu korijena na ovom i prethodnom koraku iteracije modulo abs (x_m - x_m - ₁)< e.

Modificirana metoda

Kombinirana metoda akorda i tangenata omogućuje vam postavljanje korijena jednadžbe, približavajući ih s različitih strana. Takva vrijednost, na kojoj graf f (x) prelazi OX, omogućuje preciziranje otopine mnogo brže nego za svaku od metoda odvojeno.

Pretpostavimo da moramo pronaći korijene f (x) = 0 ako postoje na [a, b]. Možete primijeniti bilo koju gore opisanu metodu. Međutim, bolje je isprobati njihovu kombinaciju zbog čega će se preciznost korijena uvelike poboljšati.

Razmatramo slučaj s početnom aproksimacijom koja odgovara uvjetu da prvi i drugi derivat ima drugačiji znak na određenoj točki x.

U takvim uvjetima, rješenje nelinearnih jednadžbi metodom tangenata omogućuje nam da pronađemo korijen s viškom ako x₀= b, a metoda pomoću akorda s fiksiranim krajem b dovodi do pronalaženja približnog korijena s greškom.

Primjenjuju se sljedeće formule:

Sada željeni x korijen treba tražiti u intervalima [a₁, b₁]. Sljedeći korak je primjena kombinirane metode u ovaj segment. Djelujući ovako dobivamo formule oblika:

Ako su prvi i drugi derivati ​​različiti, tada, na sličan način, objašnjavajući korijen dobivamo sljedeće formule za ponavljanje:

Kao uvjet, procijenjena nejednakost b_n+1 - _n+1| |< e. Drugim riječima, u praksi je nužno pronaći rješenje pomoću dvije metode, ali u svakom koraku je potrebno saznati koliko su dobiveni rezultati međusobno blizu.

Ako je gore navedena nejednakost istinita, onda kao korijen nelinearne jednadžbe u zadanom intervalu, uzeti točku koja je točno na pola puta između rješenja pronađenih u određenom koraku iteracije.

Kombinirana metoda se lako provodi u okruženju TURBO PASCAL. Na veliku želju moguće je pokušati provesti sve izračune metodom tablice u programu "Excel".

U potonjem slučaju, odabrano je nekoliko stupaca za rješavanje problema pomoću akorda i odvojeno za metodu koju je predložio Isaac Newton.

U tom se slučaju svaki redak upotrebljava za pisanje računanja u određenom koraku iteracije pomoću dvije metode. Zatim, na lijevoj strani područja odlučivanja, na stranici aktivne radnje odabire se stupac u kojem je upisan rezultat izračuna modula razlike vrijednosti sljedećeg koraka iteracije za svaku od metoda. Drugi se može upotrijebiti za unos rezultata izračuna pomoću formule za izračunavanje logičke konstrukcije "IF", koja se koristi za utvrđivanje ispunjavanja uvjeta ili ne.

Sada znate riješiti složene jednadžbe. Metoda tangenata, kao što ste već vidjeli, jednostavno se ostvaruje, kako u Pascalu tako iu Excelu. Stoga uvijek možete utvrditi korijene jednadžbe koja je teško ili nemoguće riješiti pomoću formula.