Jednostavna iteracija metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (SLAE)

Metoda jednostavne iteracije, koja se također naziva metoda uzastopne približavanja, matematički je algoritam za pronalaženje vrijednosti nepoznate veličine postupnim usavršavanjem. Bit ove metode je da, kao što naziv implicira, postupno razvija iz početne aproksimacije, one koje slijede dobivaju sve više i više rafiniranih rezultata. Ova metoda se koristi za pronalaženje vrijednosti varijable u određenoj funkciji, kao i za rješavanje sustava jednadžbi, linearnih i nelinearnih.

Razmotrimo kako se ova metoda provodi u rješavanju SLAE. Jednostavna metoda iteracije ima sljedeći algoritam:

1. Provjera ispunjavanja uvjeta konvergencije u izvornoj matrici. Stapanje teorem: Ako je originalni sustav matrica dijagonalno dominantna (tj svaki red elemenata glavnoj dijagonali mora biti po iznosu veći od zbroja elemenata bočnih dijagonala u apsolutnom iznosu), metoda jednostavnih iteracija - konvergentne.

2. Matrica izvornog sustava ne uvijek ima dijagonalnu prevlast. U takvim slučajevima sustav se može pretvoriti. Jednadžbe koje zadovoljavaju stanje konvergencije ostaju netaknute, a sa ne-zadovoljavajućim čine linearne kombinacije, tj. pomnožite, oduzmite, dodajte jednadžbe jedni drugima sve dok ne dobijete željeni rezultat.

Ako u rezultirajućem sustavu na glavnoj dijagonalu postoje neugodni koeficijenti, tada na oba dijela takve jednadžbe dodaju se uvjeti oblika c_ja* x_ja, čiji se znakovi moraju podudarati sa znakovima dijagonalnih elemenata.

3. Transformacija dobivenog sustava u normalni oblik:

x^-= beta-^-+alfa * x^-

To se može učiniti na više načina, na primjer, kako slijedi: iz prve jednadžbe izražavamo x₁ kroz druge nepoznate, od drugog₂, od trećeg₃ i tako dalje. Koristimo sljedeće formule:

alfa_ij= - (a_ij / a_ii)

_jab_ja/ a_ii
Ponovno moramo potvrditi da rezultirajući sustav normalnog oblika odgovara stanju konvergencije:

sum- (j = 1) | alfa-_ij| le-1, s i = 1,2, ... n

4. Započnimo primjenjivati ​​metodu uzastopnih aproksimacija.

x⁽⁰⁾- početnu aproksimaciju, izražavamo kroz nju x⁽¹⁾, zatim x⁽¹⁾ izražavamo x⁽²⁾. Opća formula u obliku matrice izgleda ovako:

x^(N)= beta^-+alfa * x^(N-1)

Izračunavamo sve dok ne postignemo potrebnu točnost:

max | x_ja(k) -x_ja(k + 1) le ε

Zato analizirati u praksi način jednostavne iteracije. primjer:
Za rješavanje SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 s točnošću epsilon = 10^-3

Pogledajmo dijele li dijagonalni elementi u modulu.

Vidimo da samo treća jednadžba zadovoljava stanje konvergencije. Prvo i drugo pretvaramo, prvoj jednadžbi dodamo drugu:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Od trećeg oduzimamo prvu:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Pretvorili smo izvorni sustav u ekvivalentan:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Sada smanjimo sustav u uobičajeni oblik:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Provjeravamo konvergenciju iterativnog procesa:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 1 le
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 1 le
0,383 + 0,5319 = 0,9149 le-1, tj. uvjet je zadovoljen.

0,3947
Početna aproksimacija x⁽⁰⁾ = 0.4762
0,8511

Zamjenjujemo te vrijednosti u jednadžbi normalnog oblika, dobivamo sljedeće vrijednosti:

0,08835
x⁽¹⁾= 0,486793
0.446639

Zamjenjujući nove vrijednosti, dobivamo:

0.215243
x⁽²⁾= 0.405396
0.558336

Nastavljamo izračune do trenutka kada pristupamo vrijednostima koji zadovoljavaju zadano stanje.

0,18813

x⁽⁷⁾= 0.441091

0.544319

0.188002

x⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Provjerimo ispravnost rezultata:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Rezultati dobiveni zamjenom vrijednosti koje se nalaze u početnim jednadžbama potpuno zadovoljavaju uvjete jednadžbe.

Kao što vidimo, jednostavna metoda iteracije donosi prilično točne rezultate, ali da bismo riješili ovu jednadžbu morali smo provesti dosta vremena i napraviti mnogo neugodnih izračuna.