Prvi znak jednakosti trokuta. Drugi i treći znakovi jednakosti trokuta

Među ogromnim brojem poligona, koji su u suštini zatvoreni slomljena linija koja ne prelazi granice, trokut je lik s najmanjeg broja kutova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. Ali, unatoč svojoj jednostavnosti, ova figura sadrži mnoge misterije i zanimljiva otkrića, koja su pokrivena posebnim dijelom matematike - geometrije. Ova disciplina u školi počinje podučavati od sedmog razreda, a ovdje se posebna pozornost posvećuje temi "Trokut". Djeca ne samo da uče pravila o samoj slici, već ih i uspoređuju, proučavajući 1, 2 i 3 znakove jednakosti trokuta.

Prvo poznanstvo

Jedno od prvih pravila s kojima se učenici upoznaju zvuči ovako: zbroj veličina svih kutova trokuta je 180 stupnjeva. Da bi se to potvrdilo, dovoljno je, uz pomoć mjerača, mjeriti svaki od vrhova i zbrojiti sve dobivene vrijednosti. Postupajući od toga, za dvije poznate količine lako je odrediti treći. Na primjer: U trokutu, jedan od kutova je 70 °, a drugi - 85 °, kolika je vrijednost trećeg kuta?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25 °.

Problemi mogu biti složenije ako je navedena samo jedna vrijednost kuta, a druga vrijednost govori samo koliko puta ili koliko puta je veća ili manja.

U trokutu, kako bi se utvrdilo bilo koje od njegovih svojstava, mogu se nacrtati posebne linije, od kojih svaka ima svoje ime:

• visina - okomita crta koja se izvlači od vrha do suprotne strane;
• sve tri visine koje se istodobno održavaju u središtu figure presijecaju, formirajući orthocenter, koji, ovisno o vrsti trokuta, može biti unutar ili izvan;
• medijan - linija koja povezuje vrh s sredinom suprotne strane;
• Sjecište medijana je gravitacijska točka, nalazi se u slici;
• bisectrix je linija koja prolazi od vrha do točke križanja s suprotnom stranom, točka raskrižja triju bisectora je središte upisanog kruga.

Jednostavne istine o trokutama

Trokuti, kao i svi likovi, imaju svoje osobine i svojstva. Kao što je već spomenuto, ta je figura najjednostavniji poligon, ali s vlastitim karakteristikama:

• na najdužu stranu uvijek postoji kut s većom vrijednošću i obratno;
• Ravnopravni kutovi leže na jednakim stranama, primjer je jednodijelni trokut;
• zbroj unutarnjih kutova je uvijek 180 °, što je već pokazano primjerom;
• kada se jedna strana trokuca širi izvan svojih granica, formira se vanjski kut koji će uvijek biti jednak zbroju kutova koji nisu susjedni;
• bilo koja od stranaka uvijek je manja od zbroja dviju stranaka, ali više od njihove razlike.

Vrste trokuta

Sljedeća faza poznanstva je odrediti skupinu kojoj predstavlja predstavljeni trokut. Pripadanje jednoj ili drugoj vrsti ovisi o kutovima trokuta.

• Jednako - s dvije jednake strane, koje se nazivaju bočno, treća u ovom slučaju djeluje kao baza ove figure. Kutovi u podnožju takvog trokuta su isti, a srednja strana od vrha je bisectrix i visina.
• Redoviti ili jednakostranični trokut je jedan sa svim njegovim stranama jednakima.
• Pravokutni: jedan od njegovih kutova je 90 °. U ovom slučaju, strana koja se nalazi nasuprot ovog kuta naziva se hipotenuzom, a druga dva po nogama.
• Oštro trokut - svi kutovi su manji od 90 °.
• Obtuse-angled - jedan od kutova je veći od 90 °.

Jednakost i sličnost trokuta

U procesu učenja, ne samo razmotriti jednu figuru, nego usporediti i dva trokuta. A ova naizgled jednostavna tema ima puno pravila i teorema na kojima se može dokazati da su brojke koje se razmatraju su jednaki trokuti. Znakovi jednakosti trokuta imaju sljedeću definiciju: trokuti su jednaki ako su njihove stranice i kutovi isti. S ovom ravnopravnošću, ako postavljate ove dvije figure jedni na druge, sve njihove linije će se uskladiti. Također, brojke mogu biti slične, osobito, to se odnosi na gotovo identične brojke, koje se razlikuju samo po veličini. Da bi se donio takav zaključak o zastupljenim trokutima, potrebno je poštovati jedan od sljedećih uvjeta:

• dva uglova jedne figure jednaka su dvama kutovima druge;
• dvije su strane proporcionalne dvjema stranama drugog trokuta, a kutovi oblikovani od strane su jednaki;
• tri strane druge figure su ista kao i prvi.

Naravno, za nesporni jednakosti, koja ne uzrokuje ikakve sumnje, morate imati iste vrijednosti svih elemenata obaju likova, ali s problemom teorije uvelike pojednostavljena, a samo nekoliko uvjeta dopušteno dokazati da trokuta.

Prvi znak jednakosti trokuta

Problemi na ovoj temi riješeni su na temelju dokaza teorema, koji glasi: "Ako dvije strane trokuta i kut koji čine su jednake dvjema stranama i kutu drugog trokuta, onda su i brojke jednake."

Kako zvuči dokaz teorema o prvom znaku jednakosti trokuta? Svi znaju da su dva segmenta jednaka ako su iste dužine, ili su krugovi jednaki ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta, postoji nekoliko značajki, za koje se može pretpostaviti da su brojke identične, što je vrlo pogodno za rješavanje različitih geometrijskih problema.

Kako se ovdje opisuje teorem "Prvi znak jednakosti trokuta", ali je to dokaz:

• Pretpostavimo da trokuta ABC i A₁U₁C₁ imaju iste strane AB i A₁U₁ i, sukladno tome, BC i B₁C₁, a kutovi koji su nastali na tim stranama imaju istu vrijednost, tj. jednaki su. Zatim, primjenom △ ABC na △ A₁U₁C₁ dobivamo slučajnost svih linija i vrhova. Slijedi da su ti trokuta apsolutno identični, pa su međusobno jednaki.

Teorem "Prvi znak jednakosti trokuta" također se zove "Na dvije strane i kutu". Zapravo, to je njegova suština.

Teorem o drugom obilježju

Drugi znak jednakosti dokazuje se na sličan način, dokaz se temelji na činjenici da kada se likovi međusobno dodaju, oni se potpuno podudaraju sa svim vrhovima i stranama. I teorem ovako zvuči: "Ako jedna strana i dva kuta u formiranju koje sudjeluje odgovaraju stranu i dva kuta drugog trokuta, tada su ove brojke identične, to je jednako."

Treći znak i dokaz

Ako su 2 i 1 jednakost trokuta dotaknuli obje strane i uglove figure, treći se odnosi samo na strane. Dakle, teorem ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trokuta jednake tri strane drugog trokuta, onda su brojke identične."

Da bismo dokazali ovaj teorem, moramo ući u više detalja u samoj definiciji jednakosti. U biti, što znači izraz "trokuta jednak" znači? Identitet sugerira da ako dodate jednu figuru na drugu, svi se njihovi elementi poklapaju, to može biti samo ako su njihove strane i kutevi jednaki. Istodobno, kut koji je nasuprot jedne strane, koji je isti kao i drugi trokut, jednak će odgovarajući vrh druge figure. Valja napomenuti da na ovom mjestu dokaz se lako može prevesti na jedan znak jednakosti trokuta. Ako se takva sekvenca ne promatra, jednakost trokuta je jednostavno nemoguća, osim kada je lik zrcalna slika prvog.

Pravokutni trokuti

U strukturi takvih trokuta uvijek postoje vertice s kutom od 90 °. Stoga su sljedeće tvrdnje istinite:

• trokuta s pravim kutom su jednaki ako su noge jedne identične nogama drugog;
• brojke su jednake ako je njihova hipoteza i jedna od nogu jednaki;
• takvi su trokuti jednaki ako su njihove noge i akutni kut identični.

Ovaj atribut se odnosi na desni trokuti. Da bi se dokazao teorem, nanesite primjenu likova jedni drugima, zbog čega su trokuta presavijeni pomoću nogu tako da dvije ravne linije prošireni kut sa strankama CA i CA₁.

Praktična primjena

U većini slučajeva primjenjuje se prvi znak jednakosti trokuta u praksi. U stvari, ova naizgled jednostavna klasa za geometriju i avion geometrija koristi temu i 7 izračunati duljinu, na primjer, telefonski kabel bez područje mjerenja, u kojem će se održati. Koristeći ovaj teorem je lako napraviti potrebne izračune kako bi se utvrdilo duljinu otoka, koji se nalazi u sredini rijeke, bez plivanja preko njega. Ili ojačati ogradu stavljanjem bar u uvali tako da je podijeljena na dva jednaka trokuta, ili izračunati složene elemente rada u stolariji ili u izračun nosač krovnog sustava za vrijeme izgradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta ima široku primjenu u stvarnom "odraslom" životu. Iako je u školskim godinama ova tema za mnoge čini se dosadnom i potpuno nepotrebnom.