Iracionalni brojevi: što je to i za što se koriste?

Koji su iracionalni brojevi? Zašto su takozvani? Gdje se koriste i što su oni? Malo tko može odgovoriti na ova pitanja bez oklijevanja. No, zapravo su odgovori na njih vrlo jednostavni, iako nisu svi potrebni u vrlo rijetkim situacijama

Bit i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačni ne-periodični decimalne frakcije. Potreba za uvođenjem ovog koncepta je zbog činjenice da za rješavanje novih problema u razvoju nije bilo dovoljno prethodno postojećih koncepata stvarnih ili stvarnih, cjelobrojnih, prirodnih i racionalnih brojeva. Na primjer, za izračunavanje kvadrata vrijednosti 2 potrebno je koristiti ne-periodične beskonačne decimale. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednadžbi također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Taj se skup označava kao I. I, kao što je jasno, te se vrijednosti ne mogu prikazati u obliku jednostavne frakcije, u brojniku od kojeg postoji cijeli broj, a u nazivniku - prirodni broj.

Po prvi put, indijski matematičari su se na ovaj ili onaj način susreli u 7. stoljeću prije Krista, kada je otkriveno da kvadratični korijeni određenih količina ne mogu biti jasno označeni. Prvi dokaz o postojanju takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Gippu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednodijelnog trokutu. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa donosili su neki drugi znanstvenici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva dovelo je do revizije postojećeg matematičkog sustava, zbog čega su tako važne.

Podrijetlo imena

Ako je omjer prijevoda s latinskog jezika "frakcija", "omjer", prefiks "ir"
daje tu riječ suprotno značenje. Dakle, naziv skupa tih brojeva ukazuje da se ne mogu povezati s cjelobrojnim ili frakcijskim, imaju zasebno mjesto. Ovo proizlazi iz njihove suštine.

Mjesto u opću klasifikaciju

Iracionalni brojevi, zajedno s racionalnim brojevima, odnose se na skupinu stvarnih ili stvarnih brojeva koji se pak odnose na složene. Nema podskupova, ali razlikuju se između algebarske i transcendentalne sorte, koje ćemo raspravljati u nastavku.

nekretnine

Budući da su iracionalni brojevi dio skupa stvarnih brojeva, sva njihova svojstva primjenjuju se na njih, a studiraju ih se aritmetičkim (oni se nazivaju i osnovni algebarski zakoni).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (postojanje suprotnog broja);

ab = ba (zakon o zamjeni);

(ab) c = a (bc) (distributivnost);

a (b + c) = ab + ac (distribucijski zakon);

a x 1 = a

a x 1 / a = 1 (postojanje obrnutog broja);

Usporedba se također provodi u skladu s općim zakonima i načelima:

Ako a> b i b> c, onda> c (tranzitivnost odnosa) i. i tako dalje.

Naravno, svi se iracionalni brojevi mogu transformirati pomoću osnovnih aritmetičkih operacija. Nema posebnih pravila u ovom slučaju.

Osim toga, iracionalni brojevi podložni su djelovanju Arhimedovog aksioma. Navodi se da za svaku od dvije količine a i b, sljedeća tvrdnja drži: uzimanje kao zbroj dovoljan broj puta, može se premašiti b.

korištenje

Unatoč činjenici da je u stvarnom životu često ne moraju nositi s njima, iracionalan broj ne daju račun. Oni su mnogo, ali oni su praktički nevidljivi. Okruženi smo iracionalnim brojevima. Primjeri, poznati svima, - broj pi, jednaka 3.1415926 ... ili e, je u suštini osnova prirodnih logaritama, 2.718281828 ... U algebra, trigonometrija i geometrija ih koristiti stalno. Usput, dobro poznata vrijednost „zlatnog reza”, tj omjer koliko je od visoke do niske i obrnuto, te odnosi se na ovaj skup. Manje poznati "srebro" - previše.

Na brojanju, oni su vrlo gusti, tako da između bilo koje dvije količine koje se odnose na skup racionalnih, mora se naći neracionalno.

Do sada su mnogi neriješeni problemi povezani s ovim skupom. Postoje takvi kriteriji kao mjera iracionalnosti i normalnosti broja. Matematičari nastavljaju istraživati ​​najznačajnije primjere pripadnosti određenoj skupini. Na primjer, smatra se da je e normalni broj, tj. Vjerojatnost pojave različitih znamenki u zapisu je ista. Što se tiče pi, istraživanja su još uvijek u tijeku s obzirom na to. Mjera iracionalnosti je količina koja ukazuje koliko dobro broj može biti približan racionalnim brojevima.

Algebarska i transcendentalna

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi su proizvoljno podijeljeni u algebarske i transcendentalne. Uvjetno, budući da, strogo govoreći, ova klasifikacija se koristi za podjelu seta C.

Pod ovim zapisom su složeni brojevi koji uključuju realne ili stvarne brojeve.

Dakle, algebarski izraz je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije jednako jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen 2 spada u ovu kategoriju, jer je to rješenje jednadžbe x² - 2 = 0.

Svi drugi pravi brojevi koji ne zadovoljavaju ovo stanje zovu se transcendentalni. Najpoznatiji i već spomenuti primjeri odnose se na tu vrstu - broj pi i osnovu prirodnog logaritma e.

Zanimljivo je da ni jedan ni drugi nisu izvorno izvedeni matematičarima u toj sposobnosti, njihova je iracionalnost i transcendencija dokazana mnogo godina nakon njihova otkrića. Za pi je dokaz 1882. godine i pojednostavljen 1894. godine, što je okončalo raspravu o problemu kvadrature kruga, koji je trajao 2,5 tisuće godina. Još uvijek nije potpuno razumljivo, tako da moderni matematičari imaju nešto za rad. Usput, prvi točan obračun ove vrijednosti je napravio Archimedes. Prije njega su svi izračuni bili previše približni.

Za e (broj Eulera ili Napiera), dokaz njegove transcendencije pronađen je 1873. Koristi se za rješavanje logaritamskih jednadžbi.

Među ostalim primjerima su sinusni, kosinusni i tangentni vrijednosti za sve algebarske vrijednosti koje nisu nula.