Frakcija. Umnožavanje frakcija običnih, decimalnih, pomiješanih

U srednjoj i srednjoj školi učenici su podučavali temu "Frakcije". Međutim, taj je koncept mnogo širi nego što je dan u procesu učenja. Danas se pojam frakcije pojavljuje vrlo često, a ne svatko može izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje frakcija.

Što je frakcija?

Tako je povijesno, djelomični brojevi pojavili zbog potrebe za mjerenjem. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri određivanja duljine segmenta, volumena pravokutnog oblika paralelopiped prostor pravokutnik.

U početku, studenti se upoznaju s takvim pojmom kao udjelom. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, svaki će dobiti osam lubenica. Ovaj dio osam zove se udio.

Dijeli jednako frac12- iz bilo koje vrijednosti, zove se pola trećega- četvrtina. Zapisi obrasca ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ zovu se obične frakcije. Obična frakcija je podijeljena na brojnik i nazivnik. Između njih je značajka frakcije, ili frakcijska linija. Frakcijska linija može se izvući kao vodoravna ili sklona linija. U ovom slučaju označava znak podjele.

Nazivnik predstavlja koliko jednakih dijelova podijeli količinu, objekt i brojač - koliko se identičnih dionica uzima. Numerator je napisan iznad frakcijske linije, nazivnik je napisan ispod njega.

Najprikladnije je prikazati obične frakcije na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaku dionicu s latinskim slovom, onda možete dobiti izvrsnu vizualnu pomoć. Dakle, točka A pokazuje frakciju jednaku ¹/₄ iz cijelog intervala jedinice i oznake točke B ²/₈ ovog segmenta.

Varijacije frakcija

Frakcije su obični, decimalni i također mješoviti brojevi. Osim toga, frakcije se mogu podijeliti na redovne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.

Ispravan frakcija je broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Sukladno tome, nepravilna frakcija je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta je obično napisana u obliku mješovitog broja. Taj se izraz sastoji od cjelovitog i djelomičnog dijela. Na primjer, lfrac12-. 1 je cijeli dio, frac12- - frakcijska. Međutim, ako trebate napraviti neku manipulaciju s izrazom (dijeljenje ili množenje frakcija, njihovo smanjivanje ili pretvaranje), mješoviti broj preveden je u pogrešnu frakciju.

Točna fraktalna ekspresija uvijek je manja od jedne, a netočna fraktalna ekspresija veća je ili jednaka 1.

S obzirom na decimalne frakcije, tada se ovim izrazom misli na rekord u kojem je predstavljen bilo koji broj, nazivnik frakcijske ekspresije koji se može izraziti u smislu jedinice s nekoliko nula. Ako je frakcija točna, cijeli dio u decimalnom zapisu bit će nula.

Da biste napisali decimalni broj, najprije morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od fraktalne zarezom, a zatim zapisati frakcijsku ekspresiju. Treba imati na umu da, nakon zarezom, brojnik mora sadržavati što više numeričkih znakova kao i nula u nazivniku.

primjer. Prikažite frakciju od 7²¹/₁₀₀₀ u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvorbu nepravilne frakcije na mješoviti broj i obrnuto

Za snimanje pogrešne frakcije u odgovoru na problem je netočno, stoga ga treba prevesti u mješoviti broj:

• podijeliti numerator postojećim nazivnikom;
• u određenom primjeru, nepotpuni kvocijent je cijeli broj;
• a ostatak je numerator djelomičnog dijela, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

primjer. Prevedi pogrešan dio u mješoviti broj: ⁴⁷/₅.

Rješenje. 47: 5. Nepotpuni kvocijent jednak je 9, ostatak = 2. Dakle, ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Ponekad je nužno predstaviti mješoviti broj kao nepravilnu frakciju. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli se dio umnožava nazivnikom frakcijske ekspresije;
• dobiveni proizvod se dodaje numeratoru;
• rezultat je napisan u brojniku, nazivnik ostaje nepromijenjen.

primjer. Prikažite broj u mješovitom obliku kao nepravilna frakcija: 9⁸/₁₀.

Rješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.

odgovor: ⁹⁸/_10.

Umnožavanje frakcija običnih

Više od običnih frakcija, moguće je izvesti različite algebarske operacije. Pomnožite dva broja, brojnik se mora pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, umnožavanje frakcija s različitim nazivnikom se ne razlikuje od proizvoda frakcijskih brojeva s istim nazivnikom.

Čini se da nakon pronalaženja rezultata morate smanjiti udio. Apsolutno je potrebno što je više moguće pojednostaviti rezultirajući izraz. Naravno, ne možemo reći da je pogrešan dio u odgovoru pogreška, ali je također teško nazvati točan odgovor na njega.

primjer. Nađi proizvod od dvije obične frakcije: frac12- i ²⁰/₁₈.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja produkta dobiven je redukcijski frakcijski zapis. Oznaka i nazivnik u ovom slučaju podijeljeni su s 4, a rezultat je odgovor ⁵/₉.

Množenje desetaka

Proizvod decimalnih frakcija razlikuje se vrlo malo od proizvoda običnih onih na svoj način. Dakle, množenje frakcija je kako slijedi:

• dvije decimalne frakcije moraju biti napisane jedna ispod druge tako da su desne znamenke jedna ispod druge;
• Potrebno je pomnožiti zabilježene brojeve unatoč zarezima, tj. Prirodnim brojevima;
• Izračunajte broj znamenaka nakon decimalne točke u svakom broju;
• u rezultirajućem rezultatu nakon množenja rezultata, potrebno je izbrojiti onoliko numeričkih simbola koliko ih ima u zbroju u oba čimbenika nakon zareza, i staviti znak razdvajanja;
• ako su brojevi u proizvodu bili manji, onda im trebate napisati što više nula za taj broj, stavite zarez i dodijelite cijeli dio jednak nuli.

primjer. Izračunajte produkt dviju decimalnih frakcija: 2,25 i 3,6.

Rješenje.

Umnožavanje mješovitih frakcija

Da bismo izračunali produkt dviju mješovitih frakcija, moramo upotrijebiti pravilo umnožavanja:

• prevodi brojeve u mješovitom obliku u nepravilne frakcije;
• pronaći proizvod numeratora;
• pronaći proizvod nazivnika;
• zabilježiti rezultat;
• kako bi se što je više moguće pojednostavio izraz.

primjer. Pronađite proizvod 4frac12- i 6²/_5.

Umnožavanje broja po djeliću (frakcije po broju)

Uz pronalaženje proizvoda dviju frakcija, mješovitih brojeva, postoje poslovi na kojima morate umnožiti prirodni broj do frakcije.

Dakle, da biste pronašli proizvod decimalne frakcije i prirodnog broja, trebate:

• napiši broj ispod frakcije tako da su desne znamenke jedna iznad druge;
• pronaći proizvod, unatoč zarezu;
• u rezultirajućem rezultatu, da se cijeli dio odvoji od zarezom zarezom, računajući broj znamenaka nakon decimalne točke u frakciji.

Za umnožavanje obične frakcije s brojem, potrebno je pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor redukcijska frakcija, treba ga pretvoriti.

primjer. Izračunajte proizvod ⁵/₈ i 12.

Rješenje. ⁵/₈ * 12 = ^{(5 x 12)}/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

odgovor: 7¹/_2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno skratiti rezultat i pretvoriti pogrešnu fraktalnu ekspresiju na mješoviti broj.

Množenje frakcija također se odnosi na pronalaženje produkta broja u miješanom obliku i prirodnog faktora. Pomnožite ova dva broja, umnožite cijeli dio mješovitog faktora za broj, pomnožite numerator za istu vrijednost i ostavite nazivnik nepromijenjen. Ako je potrebno, rezultat bi trebao biti što jednostavniji.

primjer. Pronađite proizvod 9⁵/₆ i 9.

Rješenje. 9⁵/₆ x 9 = 9 x 9 + ^{(5 x 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

odgovor: 88¹/_2.

Množenje faktora od 10, 100, 1000 ili 0.1-0.01-0.001

Prethodno pravilo podrazumijeva sljedeće. Pomnožite decimalnu frakciju s 10, 100, 1000, 10000, itd., Pomaknite zarez desno pomoću onoliko znamenaka znamenki jer postoji višekratnik nula nakon jednog.

Primjer 1. Pronađite proizvod od 0,065 i 1000.

Rješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite proizvod 3.9 i 1000.

Rješenje. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

odgovor: 3900.

Ako želite umnožiti prirodni broj i 0,1-0,01-0,001- 0,0001, itd., Premjestite zarez lijevo u dobivenom proizvodu tako brojnim znamenkama znamenki kao što postoje zeri na jedan. Ako je potrebno, nula je napisana prije prirodnog broja u dovoljnoj količini.

Primjer 1. Pronađite proizvod od 56 i 0.01.

Rješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.

Rješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

odgovor: 0.004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih frakcija ne smije uzrokovati poteškoće, osim što izračun rezultata, u ovom slučaju, ne možete bez kalkulatora.