Različiti načini dokazivanja Pitagorinog teorema: primjeri, opis i recenzije

U jednoj, može se osigurati sto posto da je bilo koje pitanje o tome što je kvadrat hipoteza je jednak, svaka odrasla osoba hrabro će odgovoriti: "zbroj kvadrata nogu". Ovaj teorem čvrsto se smjestio u umu svake obrazovane osobe, ali dovoljno je samo tražiti od nekoga da to dokazuje, a može biti poteškoća. Stoga se prisjetimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Kratak pregled biografije

Pythagorasov je teorem poznat gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je proizvela nije tako popularna. Ovo je moguće popraviti. Stoga, prije nego što proučavate različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema, mora se nakratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pythagoras - filozof, matematičar, mislilac izvorno iz Drevna Grčka. Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su nastale u sjećanje na ovog velikog čovjeka. No, kako slijedi iz spisa njegovih sljedbenika, Pitagora iz Samosa rođena je na otoku Samos. Otac mu je bio zajednički kamenac, ali njegova je majka došla iz plemenite obitelji.

Sudeći po legendi, rođenje Pythagore predvidalo je žena po imenu Pythia, u čiju su čast nazvali dječak. Prema njezinu predviđanju, rođeni dječak morao je donijeti mnoge prednosti i dobro čovječanstvu. Što je zapravo učinio.

Rođenje teorema

U mladosti se sastaja s Pitagorom Otok Samos u Egipat, gdje se tamo susreću s poznatim egipatskim mudracima. Nakon sastanka s njima, primljen je na studij gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je bio u Egiptu da je Pitagora inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. To može šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari vjeruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Prebacivao je svoje znanje samo sljedbenicima koji su kasnije ispunili sve potrebne matematičke izračune.

Što god bilo, danas nije jedna metoda dokazivanja tog teorema poznatog, već nekoliko. Danas možemo samo pogoditi kako su stari Grci napravili svoje izračune, stoga ovdje razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagoristički teorem

Prije nego započnete s izračunima, trebate saznati koja je teorija dokazati. Pitagorov teorem ovako zvuči: "U trokutu s jednim kutom jednakim 90^oko, zbroj kvadrata nogu jednak je kvadratu hipotenuze. "

Ukupno postoji 15 različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema. Ovo je prilično velika brojka, pa pripazimo na najpopularnije od njih.

Metoda jedan

Prvo, označimo ono što nam se daje. Ti će se podaci proširiti i na druge metode dokazivanja Pitagoranskog teorema, stoga je vrijedno spomenuti sve dostupne zapise.

Pretpostavimo da, s obzirom na pravokutni trokut, s nogama a, b i hipotenus, jednak c. Prvi način dokazivanja temelji se na činjenici da pravokutnik treba nacrtati kvadrat.

Da biste to učinili, potrebno je nacrtati segment koji je jednak kateti u odnosu na duljinu nogu i obrnuto. To bi trebalo rezultirati dvjema jednakim stranama trga. Ostaje samo crtati dvije paralelne ravne linije, a kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati drugi kvadrat sa stranom koja je jednaka hipotenuzu izvornog trokuta. Da biste to učinili, od vertica AC i ST moraju izvući dva paralelna segmenta jednake c. Dakle, dobivamo tri strane kvadrata, od kojih je jedna hipoteza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo subvencionirati četvrti segment.

Na temelju rezultirajuće brojke može se zaključiti da je područje vanjskog kvadrata (a + b)². Ako pogledate unutar slike, možete vidjeti da pored unutarnjeg kvadrata u njoj postoje četiri pravokutna trokuta. Područje svake od njih je 0.5aV.

Dakle, područje je: 4 * 0.5aв + sa²= 2a + +²

Stoga (a + b)²= 2a + +²

I, posljedično, s²= a²+u²

Dokazan je teorem.

Druga metoda: slični trokuti

Ta je formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena na temelju tvrdnje iz dijela geometrije na sličnim trokutima. Kaže da je katet pravokutnog trokuta prosječan proporcionalan za njegovu hipotenuzu i segment hipotenuze koji izlazi iz vrha kuta 90^oko.

Početni podaci ostaju isti, pa ćemo odmah početi s dokazom. Oduzimamo okomito na stranu AB segment SD. Na temelju gore navedene izjave, noge trokuta su:

AC = radikalno-AB * AD, CB = radikalno-AB * DV.

Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora konstruirati kvadriranjem obje nejednakosti.

AS²= AB * AD i CB²= AB * DV

Sada moramo dodati rezultirajuće nejednakosti.

AS²+ NE²= AB * (A * D), gdje je A + DU = A

Ispada da:

AS²+ NE²= AB * AB

I, posljedično:

AS²+ NE²= AB²

Dokaz o pitagoranskom teoremu i različiti načini njegovog rješavanja zahtijevaju svestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Ne može se govoriti o različitim načinima dokazivanja Pitagorinog teorema sve dok se ne počnete prakticirati. Mnoge metode pružaju ne samo matematičke izračune već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

U ovom slučaju, potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD-a iz BC. Dakle, sada postoje dva trokuta s uobičajenom nogu BC.

Znajući da područja sličnih figura imaju omjer kao kvadratiće njihovih sličnih linearnih dimenzija, onda:

S_abeceda * s²- S_AVD* u² = S_AVD* a²- S_IRR* a²

S_abeceda* (s²-u²) = a²* (S._AVD-S_IRR)

s²-u²= a²

s²= a²+u²

Budući da je iz različitih metoda dokazivanja Pitagoranskog teorema za ocjenu 8 ta varijanta teško dostupna, može se koristiti sljedeći postupak.

Najjednostavniji način dokazivanja teorema Pitagora. Recenzije

Povjesničari vjeruju da je ova metoda prvo korištena za dokazivanje teorema čak i u staroj Grčkoj. To je najjednostavniji jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako je crtanje ispravno nacrtano, onda je dokaz tvrdnje da a²+u²= s² , jasno će se vidjeti.

Uvjeti za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodnog. Da bi se dokazao teorem, pretpostavimo da je desni trokut ABC jednako jednodijelni trokut.

Uzimamo hipotenziju AS za stranu trga i imamo tri njene strane. Pored toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u dobivenom kvadratu. Dakle, da biste u njoj dobili četiri jednodijelna trokuta.

Na noge AB i CB, također morate imati dijete na trgu i nacrtati jednu dijagonalnu liniju u svakoj od njih. Prva crta izvlači se od vrha A, druga crta izvlači se iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da postoje četiri trokuta na hipotenuzu AS-a, jednaka izvornom trokutu, a na nogama po dva, to ukazuje na istinitost teorema.

Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorinog teorema, pojavila se slavna fraza: "Pitagoreanske hlače su jednake u svim smjerovima".

Dokaz G. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim toga, ostavio je trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, on je također bio darovan samouki.

Na početku karijere bio je redovni učitelj u javnoj školi, ali je ubrzo postao ravnatelj jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za vlastitim razvojem omogućila mu je da predloži novu teoriju dokaza o pitagoranskom teoremu. Teorem i primjer njegova rješenja su sljedeći.

Najprije morate crtati na komadu papira dva pravokutna trokuta na takav način da je katet jednog od njih bio nastavak drugog. Vrhovi tih trokuta trebaju biti povezani tako da se trapez na kraju ispada.

Kao što je poznato, područje trapezoida jednako je proizvodu polumasa svojih baza do visine.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ako uzmemo u obzir rezultirajući trapezoid kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njezino područje može naći na sljedeći način:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Sada je potrebno izjednačiti dva početna izraza

2a / 2 + s / 2 = (a + v)²/ 2

s²= a²+u²

Pitagorasov teorem i metode njegovog dokaza mogu se napisati ne samo jedan volumen udžbenika. Ali postoji li neki smisao kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorinog teorema

Nažalost, suvremeni školski kurikulumi koriste ovaj teorem samo u geometrijskim problemima. Diplomci će uskoro napustiti zidove škole, bez znanja, i kako mogu primijeniti svoja znanja i vještine u praksi.

U stvari, svatko može koristiti teorem Pitagoreja u svakodnevnom životu. I to ne samo u profesionalnom radu, nego iu redovitim domaćim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada se pitagorovski teorem i metode njegovog dokaza pokazuju izuzetno neophodnim.

Veza između teorema i astronomije

Čini se, kako se zvijezde i trokuta mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno polje u kojem je pedagog teorema široko korišten.

Na primjer, razmislite o gibanju svjetlosne zrake u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Poziva se putanje AB, koja pomiče zraku svjetlosti l. I pola vremena koje svjetlost mora dobiti od točke A do točke B, nazvat ćemo gat. I brzina zrake - c. Ispada da: c * t = l

Ako pogledamo ovu vrlo zraku iz druge ravnine, na primjer, iz kozmičke linije koja se kreće brzinom v, tada će takva promatranja tijela promijeniti njihovu brzinu. U tom slučaju čak i fiksni elementi kretati se brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da komični brod pliva desno. Zatim se točkice A i B, između kojih zraka probijaju, pomaknu ulijevo. Osim toga, kada se snop kreće od točke A do točke B, točka A vrijeme da se krene, i, sukladno tome, svjetlost je došla u novu točku C. Da biste pronašli pola udaljenosti na kojoj je točka A je preselio, potrebno je pomnožiti brzinu broda u poluvremenu zraka putovanja (t „).

d = t `* v

A kako bi se utvrdilo koliko bi zraka svjetlosti mogla proći kroz ovaj put, potrebno je odrediti pola staze nove bukve i dobiti sljedeći izraz:

s = c * t `

Ako zamislimo da se točka svjetlosti C i B, kao i svemirski brod - je vrhu jednakokračnog trokuta, segment od točke A do košuljice ga podijeliti u dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorin teorem može naći udaljenost koja je bila u stanju donijeti snop svjetlosti.

a² = l² + d²

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo jedinice mogu imati dovoljno sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrite svjetovnije verzije primjene ovog teorema.

Radijus prijenosnog prijenosa signala

Moderni život je nemoguće zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali koliko će biti za njih da procaju, ako ne mogu povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije ?!

Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o nadmorskoj visini antene mobilnog operatera. Kako bi se izračunao udaljenost od mobilnog tornja, telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorejski teorem.

Pretpostavimo da moramo pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može propagirati signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (polumjer prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus zemaljske kugle) = 6380 km;

Odavde

OB = OA + ABOV = r + x

Primjenom teorema Pitagore, saznat ćemo da minimalna visina tornja treba biti 2,3 km.

Pitagoristički teorem u svakodnevnom životu

Ironično, pitagorejski teorem može se pokazati korisnim čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je, primjerice, određivanje visine ormara. Na prvi pogled nema potrebe koristiti takve složene izračune jer možete jednostavno mjeriti pomoću ruleta. Ali mnogi se pitaju zašto u procesu montaže postoje određeni problemi, ako su sva mjerenja poduzeta više nego točno.

Činjenica je da se ormar sklapaju u vodoravnom položaju, a tek tada se diže i pričvršćuje na zid. Stoga bočna stijenka kabineta tijekom podizanja konstrukcije mora slobodno proći i visinom i dijagonalno u sobi.

Pretpostavimo da je ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa je 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića mora biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto na 126 mm? Razmotrite primjer.

Provjerimo učinak Pitagoranskog teorema za idealne dimenzije kabineta:

AC = radikalno-AB²+Radić-Sunce²

AC = radikalno-2474²+800²= 2600 mm - sve konvergira.

Pretpostavimo da visina kabineta nije 2474 mm, ali 2505 mm. zatim:

AC = radikalno-2505²+Radić-800²= 2629 mm.

Stoga, ovaj ormar nije pogodan za instalaciju u ovoj sobi. Kao kada ga podignete u vertikalni položaj, možete oštetiti njeno tijelo.

Možda, nakon razmatranja različitih načina dokazivanja Pythagorasovog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je više nego istinito. Sada možete koristiti informacije primljene u vašem svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, nego i istiniti.