Diofantinska jednadžba: metode otopine s primjerima

Algebarske nejednakosti ili njihovi sustavi s racionalnim koeficijentima čija su rješenja tražena u integralnim ili cjelobrojnim brojevima. U pravilu, broj nepoznanica u Diophantine jednadžbama je veći. Dakle, one su također poznate kao nejasne nejednakosti. U modernim matematike koncept od gore navedenog odnosi na algebarskih jednadžbi čije rješenja tražiti u algebarskih brojeva neke produljenje P-racionalnih varijabli, na području p-adske i tako dalje. D.

Porijeklo tih nejednakosti

Proučavanje Diophantine jednadžbi nalazi se na granici između teorije brojeva i algebarske geometrije. Potraga za rješenjima u cjelobrojnim varijablama jedan je od najstarijih matematičkih problema. Već početkom drugog tisućljeća prije Krista. Drevni Babilonci uspjeli su riješiti sustave jednadžbi s dva nepoznata. Ova grana matematike najviše je procvjetala u staroj Grčkoj. Aritmetika Diophantusa (oko 3. stoljeća poslije Krista) značajan je i glavni izvor, koji sadrži različite tipove i sustave jednadžbi.

U ovoj knjizi Diophantus je predvidio niz metoda za proučavanje nejednakosti drugog i trećeg stupnja, koji su bili potpuno razvijeni u XIX stoljeću. Stvaranje teorije racionalnih brojeva ovog istraživača antičke Grčke dovelo je do analize logičkih rješenja neizvjesnih sustava koji su sustavno prateni u njegovoj knjizi. Unatoč činjenici da njegov rad sadrži rješenja specifičnim diofantskim jednadžbama, postoje razlozi za vjerovanje da je upoznat s nekoliko uobičajenih metoda.

Proučavanje tih nejednakosti obično je povezano s ozbiljnim poteškoćama. S obzirom na činjenicu da oni sadrže polinome s cjelobrojnim koeficijentima F (x, y1, hellip-, y_n). Na temelju toga zaključeni su zaključci da ne postoji niti jedan algoritam kojim bi bilo moguće odrediti za bilo koji dani x da li je jednadžba F (x, y₁,hellip-., y_n). Situacija je moguća za y₁, hellip-, y_n. Primjeri takvih polinoma mogu biti napisani.

Najjednostavnija nejednakost

ax + by = 1, gdje a i b su relativno cijeli brojevi i primes, postoji puno izvršenja za njega (ako je x₀ y₀ rezultat je generiran, a zatim par varijabli x = x₀ + b_n i y = y₀^-, gdje je n proizvoljna, također će se tretirati kao nejednakost). Drugi primjer diofantinskih jednadžbi je x² + y² = z². Pozitivna integralna rješenja ove nejednakosti su duljina malih strana x, y i pravokutnih trokuta, kao i hipotenzija z s cijelim bočnim dimenzijama. Ti su brojevi poznati kao pitagorejski brojevi. Svi tripleti u odnosu na jednostavne varijable navedene iznad dane su formulama x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², gdje su m i n cijeli brojevi i primes (m> n> 0).

Diophantus u svom "Aritmetičkom" traži racionalna (a ne nužno integralna) rješenja posebnih vrsta njihovih nejednakosti. Opća teorija rješavanja diofantske jednadžbe prvog stupnja razvila je K. G. Bashet u 17. stoljeću. Drugi znanstvenici početkom devetnaestog stoljeća uglavnom su proučavali slične nejednakosti vrste sjekire² +bxy + cy² + dx + ey + f = 0, gdje su a, b, c, d, e, i f općeniti, nehomogeni, s dva nepoznata drugog stupnja. Lagrange je koristio kontinuirane frakcije u svojoj studiji. Gauss za kvadratne oblike razvio je opću teoriju na kojoj se nalazi rješenje određenih tipova.

U istraživanju tih nejednakosti drugog stupnja, značajan napredak postignut je tek u dvadesetom stoljeću. U A. Tada je utvrđeno da je diofantska jednadžba a₀xⁿ + ₁x^n-1y + hellip- + a_nyⁿ= c, gdje nge-3, a₀,hellip-, a_n,c su cijeli brojevi i a₀tⁿ + ^hellip- +_n ne može imati beskonačan broj cjelobrojnih rješenja. Međutim, Thueova metoda nije bila ispravno razvijena. A. Baker je stvorio djelotvorne teoreme koji daju procjene o ispunjavanju određenih jednadžbi ove vrste. B. N. Delaunay predložio je još jedan način istraživanja, primjenjiv na usku klasu tih nejednakosti. Konkretno, oblik sjekira³ + y³ = 1 je potpuno rješiv na ovaj način.

Diofantske jednadžbe: metode rješavanja

Teoriju Diophantusa ima mnogo smjera. Dakle, poznati problem u ovom sustavu je hipoteza da ne postoji ne-trivijalno rješenje diofantinskih jednadžbi xⁿ + yⁿ = zⁿ ako n 3 (Fermatovo pitanje). Proučavanje cjelovitih nejednakosti je prirodna generalizacija problema pitagorejskih trojki. Euler je dobio pozitivno rješenje problema Farma za n = 4. U pogledu ovog rezultata, to se odnosi na dokaze o nedostatku integralnog, od nule jednadžbe istraživanja, ako je n - neparan prim broj.

Istraživanje o odluci nije dovršeno. Poteškoće s njegovom provedbom su posljedica činjenice da jednostavna faktorizacija u prstenu algebarskog broja nije jedinstvena. Teorija razdjelnika u ovom sustavu za mnoge klase premijskih eksponenata n omogućuje nam da potvrdimo valjanost Fermatovog teorema. Stoga postojeće metode i metode zadovoljavaju linearnu Diophantine jednadžbu s dva nepoznanica.

Vrste i vrste opisanih zadataka

U mnogim drugim problemima i rješenjima diofantske jednadžbe također se koristi i aritmetika prstena algebrijskih brojeva. Na primjer, takve su metode primijenjene kada su nejednakosti oblika N (a₁ x₁ +hellip- + a_nx_n) = m, gdje je N (a) norma a, i x₁, hellip-, x_n pronađene su integralne racionalne varijable. Ovaj razred uključuje Pell jednadžbu x^2-dy²= 1.

Vrijednosti a_{1 hellip-, n} koje se pojavljuju, te su jednadžbe podijeljene u dvije vrste. Prvi tip - tzv. Kompletni oblici - uključuje jednadžbe u kojima su među a linearno nezavisni brojevi na polju racionalnih varijabli Q, gdje m = [Q (a₁,hellip-, a_n): Q], u kojem postoji stupanj algebrijskih eksponenata Q (a1, hellip-, a_n) tijekom Q. Nepotpuni prikazi su oni u kojima je maksimalni broj a_ja manje od m.

Kompletni obrasci jednostavniji su, njihovo je istraživanje završeno i sva rješenja mogu se opisati. Druga vrsta - nepotpuna vrsta - složenija je, a razvoj takve teorije još nije kompletan. Takvi se promatra uporabom jednadžbe diofantskih aproksimacije koji sadrže C = nejednakost F (X, Y), u kojem F (x, y) - nge-stupnja uz nesvodiv 3 jednolika. Dakle, možemo pretpostaviti da y_ja→infin-. Prema tome, ako y_ja To je dovoljno velika, nejednakost bi bilo u suprotnosti teorem Thueova, Siegel i Roth, iz čega slijedi da je F (x, y) = C, gdje je F formirati treći stupanj ili više neumoljiv može imati beskonačan broj rješenja.

Kako riješiti diofantsku jednadžbu?

Ovaj primjer je prilično uska klasa među svima. Na primjer, unatoč njihovoj jednostavnosti, x³ + y³ + z³ = N, i također x² +y ² +z² +u² = N nisu uključeni u ovu klasu. Studija rješenja prilično temeljito proučavali granu diofantskih jednadžbi, gdje se na temelju zastupljenosti brojeva po kvadratnog oblika. Lagrange je stvorio teoriju koja kaže da je provedba postojećeg za sve prirodne N. Svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj tri kvadrata (Gaussov teorem), ali to ne bi trebao biti u obliku 4(8K-1), gdje su a i k ne-negativni cijeli eksponenti.

Racionalna ili integralna rješenja sustava diofantske jednadžbe tipa F (x₁, hellip-, x_n) = a, gdje F (x₁, hellip-, x_n) je kvadratni oblik s cjelobrojnim koeficijentima. Prema tome, prema teoremu Minkowski-Hasse, nejednakost Zbroj-a_ijx_jax_j = b gdje a_ij i b je racionalno, ima cjelovito rješenje u stvarnim i p-adic brojevima za svaki premijer p samo ako je riješeno u toj strukturi.

Zbog inherentnih poteškoća proučavanje brojeva s proizvoljnim oblicima trećeg i višeg stupnja studira se u manjoj mjeri. Glavna metoda izvršenja je metoda trigonometrijskih zbrojeva. U ovom slučaju, broj rješenja jednadžbe izričito je napisan u smislu Fourierovog integralnog. Nakon toga, metoda okoliša koristi se za izražavanje količine ispunjenja nejednakosti odgovarajućih kongruencija. Metoda trigonometrijskih zbroja ovisi o algebarskim singularnostima nejednakosti. Postoji velik broj osnovnih metoda za rješavanje linearnih diofantinskih jednadžbi.

Diofantinska analiza

Odjel za matematiku, predmet koji je proučavanje cjelovitih i racionalnih rješenja sustava jednadžbi algebre metoda geometrije iz istog područja. U drugoj polovici 19. stoljeća pojavljivanje ove teorije brojeva dovelo je do proučavanja Diophantusovih jednadžbi s proizvoljnog polja s koeficijentima, a rješenja su bila uzeta u obzir ili u njegovim prstenima. Sustav algebarskih funkcija razvio se usporedno s brojevima. Osnovna analogija dviju, koju su naglasili D. Hilbert i, osobito, L. Kronecker, doveli su do ujednačene konstrukcije raznih aritmetičkih pojmova, koji se obično nazivaju globalnim.

Ovo je osobito vidljivo ako su algebarske funkcije proučavane na konačnim područjima konstanti jedna varijabla. Koncepti kao što su teorija polja klase, djelitelj, kao i grananje i rezultati su dobra ilustracija gore navedenog. Ta je gledišta tek kasnije prihvaćena u sustavu diofantske nejednakosti, a sustavno istraživanje ne samo numeričkim, već i koeficijentima koji su funkcije, započeo je tek 1950-ih. Jedan od odlučujućih čimbenika u ovom pristupu bio je razvoj algebarske geometrije. Simultano proučavanje područja brojki i funkcija koje se pojavljuju kao dva jednako važna aspekta istog predmeta, ne samo da su dali elegantne i uvjerljive rezultate, već su doveli do međusobnog obogaćivanja dviju tema.

U algebarska geometrija raskošnu zamjenjuje se pojmom ne-nepromjenjivog skupa nejednakosti preko određenog polja K, a njihova rješenja zamjenjuju racionalnih točaka s vrijednostima u K ili kraj svoje širenje. Se u skladu s tim se reći da je osnovni problem Diophantine geometrija istražiti racionalne točke algebarski set X (K), gdje je X - određeni broj polja K. izvršenje broj ima geometrijsku značenje linearnim diofantskih jednadžbi.

Studije nejednakosti i mogućnosti provedbe

U proučavanju racionalnih (ili integralnih) točaka na algebarskim vrstama pojavljuje se prvi problem koji se sastoji u njihovom postojanju. Deseti Hilbertov problem formuliran je kao problem pronalaženja opće metode za rješavanje ovog problema. U procesu stvaranja točno određivanje algoritma, a nakon što je dokazano da je tako veliki broj pogubljenja za poslove ne postoje, očito problem ima negativan rezultat, a najzanimljivije pitanje je definicija klase Diofantske jednadžbe za koje postoji sustav gore navedeno. Najprirodniji pristup, od algebarski gledišta, je takozvani princip Hasse: početno polje K studirao zajedno sa svojim dovršetak K_v o svim mogućim procjenama. Budući da X (K) = X (K_v) su neophodni uvjet za postojanje, a K točka uzima u obzir da je skup X (K_v) nisu prazne za sve v.

Važnost je da smanjuje dva problema. Drugi je mnogo jednostavniji, rješen je poznatim algoritmom. U konkretnom slučaju kada je varijanta X projektivna, Henselova lema i njena generalizacija omogućuju daljnje smanjenje: problem se može svesti na proučavanje racionalnih točaka na konačnom polju. Zatim odlučuje izgraditi pojam bilo sekvencioniranom studijom ili djelotvornijim metodama.

Zadnje važno razmatranje je da se skupovi X (K_v) nisu prazni za sve v, osim konačnog broja, tako da je broj uvjeta uvijek konačan i mogu se učinkovito potvrditi. Međutim, Hasseovo načelo ne odnosi se na zakrivljene moći. Na primjer, 3x³ +4y³= 5 ima bodove u svim p-adic broj polja iu sustavu pravi brojevi, ali nema racionalnih bodova.

Ova je metoda poslužila kao početna točka za konstruiranje koncepta koji opisuje klase glavnih homogenih prostora abelijskih sorti za obavljanje "odstupanja" iz Hasseovog načela. Opisano je u smislu posebne strukture koja se može povezati sa svakom sorta (Tate-Safarevic grupa). Glavna teškoća teorije je da su metode za izračunavanje grupa teško dobiti. Ovaj je koncept također proširen i na druge vrste algebarske sorte.

Potražite algoritam za ispunjavanje nejednakosti

Još jedan heuristički ideja koristiti u proučavanju diofantskih jednadžbe, je da, ako se broj uključenih varijabli u skupu nejednakosti - je velika, sustav obično ima rješenje. Međutim, vrlo je teško dokazati za bilo koji slučaj. Opći pristup problemima ovog tipa koristi analitičku teoriju brojeva i temelji se na procjenama trigonometrijskih zbrojeva. Ova je metoda izvorno primijenjena na posebne vrste jednadžbi.

Međutim, kasnije je pokazano s njom, ako se stupanj neparan oblika - F, i d u n varijabli, i s racionalnim koeficijentima, n je dovoljno velika u usporedbi s d, stoga, ima racionalni točka projektorom hypersurface F = 0. Prema hipotezi Artin, ovaj rezultat je ispravan, čak i ako n> d². To se dokazuje samo za kvadratne oblike. Slične probleme mogu se tražiti i za druga područja. Središnji problem diofantske geometrije je struktura cijelog broja cjelovitih ili racionalnih točaka i njihova proučavanja, a prvo je pitanje da li je ovaj skup konačan. U tom slučaju, situacija obično ima konačni broj izvršenja, ako je stupanj sustava puno veći od broja varijabli. Ovo je osnovna pretpostavka.

Nejednakosti na linijama i krivuljama

Skupina X (K) može se prikazati kao izravan zbroj slobodne strukture ranga r i konačne skupine reda br. Od 1930-ih, proučavali smo se pitanje da li su oni ograničeni na broj skupa svih eliptičkih krivulja u određenom području K. Ograničenja torzijske n pokazala je u sedamdesetim godinama. Postoje krivulje proizvoljnog visokog ranga u funkcionalnom slučaju. U numeričkom slučaju još uvijek nema odgovora na ovo pitanje.

Konačno, pretpostavka Mordella tvrdi da je broj integralnih točaka konačan za krivulju roda g> 1. U funkcionalnom slučaju, ovaj koncept je pokazao Yu. I. Manin 1963. godine. Glavni alat koji se koristi u dokazu teorema finitnosti u diofantskoj geometriji jest visina. Od algebarske sorte dimenzije veće od jedne, abelijske sorte, koje su višedimenzionalni analozi eliptičkih krivulja, temeljito su proučavani.

Weil opće teorem o konačnim brojem generatora racionalnih točaka na abelovski vrste bilo kojoj dimenziji (Mordell-Weil koncept), proširujući. U 1960. bilo je pretpostavka za breza i Swinnerton-Dyer i poboljšati raznolikost grupe i funkcije zeta. Numerički dokazi podupiru ovu hipotezu.

Problem rješavanja problema

Problem pronalaženja algoritma pomoću kojeg se može utvrditi je li bilo koja diofantinska jednadžba metoda rješavanja. Bitna značajka problema postavljena je traženje univerzalne metode koja bi bila prikladna za svaku nejednakost. Takav postupak bi se omogućilo da se riješi gore navedeni sustav, budući da je ekvivalent za P21 + ⋯ + = P2k 0.p1 = 0, ..., PK-0n = 0, ..., NK je 0 ili p21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. Problem pronalaženja takve univerzalne metode pronalaženja rješenja za linearne nejednakosti u integersima postavio je D. Hilbert.

Početkom 1950-ih godina postojale su prve studije koje su pokazale da ne postoji neki algoritam za rješavanje Diophantine jednadžbi. U ovom trenutku pojavila se hipoteza Davisa, u kojoj je rečeno da je svaki brojni skup također pripadao grčkom znanstveniku. Budući da su primjeri algoritamski nerješivi setovi poznati, ali su rekurzivno nabrojani. Slijedi da je Davisova pretpostavka istinita, a problem rješivosti ovih jednadžbi ima negativno ispunjenje.

Nakon toga, hipoteza Davis ostaje da se dokaže da je nejednakost metoda pretvorbe, koji je također (ili je bio) istovremeno odluku. Pokazano je da je takva promjena diofantinske jednadžbe moguća ako je s navedenim dvama svojstvima: 1) u bilo kojoj otopini ove vrste vleuu - 2) za bilo koji k Postoji implementacija u kojoj je prisutan eksponencijalni rast.

Primjer linearne Diophantine jednadžbe ove klase dovršava dokaz. Problem postojanja algoritma za rješavanje i prepoznavanje u racionalnim brojevima tih nejednakosti još uvijek je važno i otvoreno pitanje koje nije dovoljno proučeno.