Svojstva i načina kako pronaći korijene jednadžbe

Svijet je raspoređen na takav način da se rješenje velikog broja problema smanjuje za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Korijeni jednadžbi važni su za opisivanje različitih zakonitosti. To je bilo poznato istražiteljima drevnog Babilona. Astronomi i inženjeri također su bili prisiljeni riješiti takve probleme. Već u 6. stoljeću, indijski znanstvenik Aryabhata razvio je temelje za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Formule su stekle potpuni izgled u XIX stoljeću.

Opći koncepti

Predlažemo da se upoznamo s osnovnim zakonima kvadratnih jednadžbi. U općem obliku, jednadžba se može napisati na sljedeći način:

sjekira² + bx + c = 0,

Broj korijena kvadratne jednadžbe može biti jedan ili dva. Brzo se analiziraju pomoću pojma diskriminanta:

D = b² - 4ac

Ovisno o izračunatoj vrijednosti, dobivamo:

• Za D> 0, postoje dva različita korijena. Opća formula za određivanje korijena kvadratne jednadžbe izgleda kao (-b ± radikalno-D) / (2a).
• D = 0, u ovom slučaju korijen je jedan i odgovara vrijednosti x = -b / (2a)
• D < 0, nema rješenja za negativni diskriminant u rješenju jednadžbe.

Napomena: ako je diskriminant negativan, jednadžba nema korijene samo u stvarnom broju regije. Ako se algebra proširuje na koncept kompleksnih korijena, tada jednadžba ima rješenje.

Donosimo niz akcija koje potvrđuju formulu za pronalaženje korijena.

Iz općenitog oblika jednadžbe slijedi:

sjekira² + bx = -c

Pomnožite desne i lijeve dijelove pomoću 4a i dodajte b², dobivamo

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Pretvaramo lijevu stranu u obliku kvadrata polinoma (2ax + b)². Izvadimo kvadratni korijen obiju strana jednadžbe 2ax + b = -b ± radik - (-4ac + b²), prenositemo koeficijent b na desnu stranu, dobivamo:

2ax = -b ± radik - (-4ac + b²)

Slijedi da:

x = (-b ± radic- (b² - 4ac))

Koji će biti prikazan.

Poseban slučaj

U nekim slučajevima, rješenje problema može biti pojednostavljeno. Dakle, za jedinstveni koeficijent b dobivamo jednostavniju formulu.

Označavaju k = 1 / 2b, tada formula općeg oblika korijena kvadratne jednadžbe ima oblik:

x = (-k ± radikalno (k² - ac)) / a

Za D = 0 dobivamo x = -k / a

Drugi poseban slučaj je rješenje jednadžbe za a = 1.

Za obrazac x² + bx + c = 0, korijeni su x = -k ± radikalno (k² - c) s diskriminancom veće od 0. Za slučaj kada je D = 0, korijen će biti određen jednostavnom formulom: x = -k.

Korištenje grafikona

Svatko tko to čak ni ne sumnja, stalno se suočava s fizičkim, kemijskim, biološkim i čak društvenim fenomenima, koji su dobro opisani kvadratnom funkcijom.

Napomena: krivulja konstruirana na temelju kvadratne funkcije naziva se parabola.

Dajmo neke primjere.

1. Prilikom izračuna putanje leta projektila, koristite svojstvo pokreta duž parabole tijela, oslobođenog pod kutom prema horizontu.
2. Parabolička svojstva ravnomjerno raspoređenog opterećenja naširoko se koriste u arhitekturi.

Shvativši važnost paraboličke funkcije, razumjet ćemo kako koristiti grafikon kako bismo proučavali njegova svojstva pomoću koncepata "diskriminantnog" i "korijena kvadratne jednadžbe".

Ovisno o vrijednostima koeficijenata a i b, postoje samo šest varijanti položaja krivulje:

1. Diskriminant je pozitivan, a i b imaju različite znakove. Granice parabole gledaju prema gore, kvadratna jednadžba ima dva rješenja.
2. Diskriminantni i koeficijent b su nula, koeficijent a je veći od nule. Graf se nalazi u pozitivnoj zoni, jednadžba ima 1 korijen.
3. Diskriminantni i svi koeficijenti imaju pozitivne vrijednosti. Kvadratna jednadžba nema rješenje.
4. Diskriminantni i koeficijent a negativni su, b veći od nule. Granice grafikona usmjerene su prema dolje, jednadžba ima dva korijena.
5. Diskriminantni i koeficijent b su nula, koeficijent a je negativan. Parabola gleda prema dolje, jednadžba ima jedan korijen.
6. Vrijednosti diskriminatora i svih koeficijenata su negativne. Nema rješenja, funkcijske vrijednosti su potpuno u negativnoj zoni.

Napomena: varijanta a = 0 nije uzeta u obzir, jer u ovom slučaju parabola degenerira u ravnu liniju.

Sve gore navedeno dobro je ilustrirano donjim prikazom.

Primjeri rješavanja problema

Stanje: korištenje zajedničkih svojstava, čine kvadratnu jednadžbu, čiji korijeni su međusobno jednaki.

rješenje:

po hipotezi problema x₁ = x₂, ili -b + radic- (b² - 4ac) / (2a) = -b + radic- (b² - 4ac) / (2a). Pojednostavite unos:

-b + radic- (b² - 4ac) / (2a) - (- b- radic- (b² - 4ac) / (2a)) = 0, otvoriti zagrade i dati slične uvjete. Jednadžba ima oblik 2radic- (b² - 4ac) = 0. Ta tvrdnja vrijedi kada b² - 4ac = 0, stoga b² = 4ac, tada je vrijednost b = 2radic- (ac) zamijenjena jednadžbom

sjekira² + 2radic- (ac) x + c = 0, u gornjoj formi dobivamo x² + 2radic- (c / a) x + c = 0.

odgovor:

za ne jednak 0 i bilo c postoji samo jedno rješenje ako b = 2radic- (c / a).

Kvadratne jednadžbe za svu svoju jednostavnost od velike su važnosti u inženjerskim proračunima. Gotovo svaki fizički proces može se opisati s nekom aproksimacijom, korištenjem funkcija snage reda n. Kvadratna jednadžba bit će prva takva aproksimacija.