Problemi riješeni pomoću jednadžbe. Rješavanje problema u matematici

U školi matematike nužno postoje problemi. Neki se pitaju u nekoliko akcija, drugi zahtijevaju neku zagonetku.

Zadaci koje treba riješiti uz pomoć jednadžbe, samo na prvi pogled teško. Ako vježbate, onda će taj proces doći do automatizacije.

Geometrijski oblici

Da bismo razumjeli pitanje, trebate razumjeti suštinu. Pažljivo pročitajte stanje, bolje je ponoviti čitanje nekoliko puta. Problemi jednadžbi su samo na prvi pogled teško. Razmotrimo primjer za početak najjednostavnijeg.

S obzirom na pravokutnik, trebate pronaći njegovo područje. S obzirom: širina je 48% manja od duljine, perimetar pravokutnika je 7,6 centimetara.

Rješavanje problema u matematici treba pažljivo čitati, logiku. Dajte to zajedno. Što trebate uzeti u obzir prije svega? Označavamo duljinu x. Stoga, u našoj jednadžbi, širina je 0.52x. Dano nam je opseg - 7,6 centimetara. Pronađimo pola perimetra, za ovaj 7,6 centimetara dijeli se za 2, to je jednako 3,8 centimetara. Dobivamo jednadžbu pomoću koje se nalazi duljina i širina:

0,52 x + x = 3,8.

Kada dobijemo x (duljinu), neće biti teško pronaći 0,52x (širinu). Ako znamo ove dvije količine, onda nalazimo odgovor na glavno pitanje.

Problemi riješeni uz pomoć jednadžbe nisu tako složeni koliko se čini, mogli bismo to razumjeti od prvog primjera. Pronašli smo duljinu x = 2,5 centimetara, širinu (označit ćemo y) od 0,52 x = 1,3 centimetara. Prolazimo do trga. Nalazi se jednostavnom formulom S = x * y (za pravokutnike). U našem problemu, S = 3,25. Ovo će biti odgovor.

Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja problema pronalaženja područja. I ovaj put vodimo pravokutnik. Rješenje problema u matematici za pronalaženje perimetra, područje različitih figura vrlo je često. Čitamo stanje problema: daje pravokutnik, duljina je 3,6 centimetara veća od širine, što je 1/7 opsega slike. Pronađite područje ovog pravokutnika.

Bit će prikladno označiti širinu varijable x, a duljinu nakon (x + 3,6) centimetara. Pronađite obod:

P = 2x + 3.6.

Ne možemo riješiti jednadžbu, budući da u njemu postoje dvije varijable. Stoga ponovno gledamo na stanje. Kaže da je širina 1/7 perimetra. Dobivamo jednadžbu:

1/7 (2x + 3,6) = x.

Zbog praktičnosti rješenja, pomnožite svaki dio jednadžbe sa 7, tako da smo dobili osloboditi od frakcije:

2x + 3,6 = 7x.

Nakon rješenja dobili smo x (širinu) = 0,72 centimetara. Znajući širinu, nalazimo dužinu:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Sada znamo duljinu i širinu, odgovaramo na glavno pitanje o tome što je područje pravokutnika jednako.

S = x * y, S = 3,1104 cm.

Cane s mlijekom

Rješavanje problema uz pomoć jednadžbi uzrokuje puno poteškoća za školsku djecu unatoč činjenici da ova tema počinje u četvrtom razredu. Postoje mnogi primjeri, gledali smo na pronalaženje područja likova, sada malo zbunjeno od geometrije. Pogledajmo jednostavne zadatke s tabulacijom, pomažu vam vizualno: tako da možete vidjeti podatke koji pomažu u rješenju.

Pozovite djecu da pročitaju stanje problema i izradite tablicu koja će vam pomoći da sastavite jednadžbu. Evo uvjeta: postoje dva limenka, u prva tri puta više mlijeka nego u drugom. Ako prvi ulije pet litara u drugi, mlijeko će biti jednako. Pitanje: koliko je mlijeka bilo u svakom?

Da biste pomogli s rješenjem, morate izraditi tablicu. Kako bi izgledalo?

Kako će to pomoći u formulaciji jednadžbe? Znamo da je kao rezultat mlijeka postalo jednako, tako da će jednadžba izgledati ovako:

3x-5 = x + 5-

2x = 10-

x = 5.

Pronašli smo izvornu količinu mlijeka u drugom loncu, što znači da je u prvom bilo: 5 * 3 = 15 litara mlijeka.

Sada malo objašnjenje o izradi tablice.

Zašto smo odredili prvi lonac za 3x: u stanju je propisano da je drugi mlijeko top 3 puta manje. Tada smo pročitali da je iz prvog kanistera 5 litara bilo isušeno, stoga 3. - 5., i u drugom izlijevanju: x + 5. Zašto smo izjednačili ove uvjete? U stanju problema se kaže da je mlijeko postalo jednako.

Tako smo dobili odgovor: prvi top - 15 litara, drugi - 5 litara mlijeka.

Određivanje dubine

Prema stanju problema: dubina prvog bušotina je 3,4 metra veća od druge. Prva bušotina povećana je za 21,6 metara, a drugi - tri puta, nakon tih akcija bunare imaju istu dubinu. Potrebno je izračunati dubinu koju je svako jažilo izvorno.

Metode rješavanja problema su brojne, može se raditi, stvoriti jednadžbe ili njihov sustav, ali druga opcija je najprikladnija. Da biste išli na rješenje, izradili smo tablicu, kao u prethodnom primjeru.

Sada se obraćamo formulaciji jednadžbe. Budući da su bušotine iste dubine, ona ima sljedeći oblik:

x + 3.4 + 21.6 = 3x-

x = 3x =-25

-2x = -25-

x = -25 / -2-

x = 12.5

Pronašli smo izvornu dubinu drugog bušotina, sada možemo pronaći prvu:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Nakon izvršenih radnji zapišemo odgovor: 15,9 m, 12,5 m.

Dvije braće

Imajte na umu da se ovaj zadatak razlikuje od svih prethodnih, jer je po početku bio isti broj objekata. Naprimjer, pomoćna tablica izvodi se obrnutim redoslijedom, tj. Iz "postaje" prema "bio".

Stanje: dvoje braće dobile su jednak broj matica, ali starac je dao bratu 10, nakon toga mladi novci postaviše pet puta veći. Koliko je matica za svakog dječaka?

Izrađujemo jednadžbu:

x + 10 = 5x - 10-

-4x = -20-

h = 5 - postali su matice starijeg brata;

5 * 5 = 25 - mlađi brat.

Sada možete zapisati odgovor: 5 matica - 25 matica.

kupovina

U školi morate kupiti knjige i bilježnice, prvo skuplje od druge na 4,8 rubalja. Morate izračunati koliko je jedan prijenosnik i jedna knjiga trošak, ako kupite iste pet knjiga i dvadeset jedan prijenosnik s istom količinom novca.

Prije nego što prijeđete na rješenje, vrijedi odgovoriti na sljedeća pitanja:

• Koji je problem u problemu?
• Koliko su platili?
• Što ste kupili?
• Koje vrijednosti se mogu izravnati?
• Što trebate znati?
• Koja je vrijednost za x?

Ako ste odgovorili na sva pitanja, onda se obratimo rješenju. U ovom primjeru vrijednost x može se uzeti kao cijena jedne bilježnice i troškove knjige. Razmotrimo dvije moguće varijante:

1. x je tada trošak jedne bilježnice x + 4.8 - cijena knjige. Polazeći od toga dobivamo jednadžbu: 21x = 5 (x + 4.8).
2. x je tada trošak knjige x - 4.8 - cijenu bilježnice. Jednadžba ima oblik: 21 (x - 4.8) = 5x.

Možete odabrati prikladniju opciju za sebe, a zatim riješiti dvije jednadžbe i usporediti odgovore, oni bi se trebali podudarati u cjelini.

Prvi način

Rješenje prve jednadžbe je:

21x = 5 (x + 4.8) -

4,2 x = x + 4,8-

4,2x-x = 4,8-

3,2 x = 4,8-

x = 1,5(RUB) - trošak jedne bilježnice;

4,8 ± 1,5 = 6,3 (rublja) - trošak jedne knjige.

Drugi način rješavanja ove jednadžbe (otvaranje zagrada):

21x = 5 (x + 4.8) -

21x = 5x + 24-

16x = 24-

h = 1,5 (rubalja) - trošak jedne bilježnice-

1.5 + 4.8 = 6.3 (rublja) - trošak jedne knjige.

Drugi način

5x = 21 (x-4.8) -

5x = 21x - 100,8-

16x = 100,8-

h = 6,3 (rubalja) - trošak 1 knjige;

6.3 - 4.8 = 1.5 (rubalja) - trošak jedne bilježnice.

Kao što se može vidjeti iz primjera, odgovori su identični, dakle, problem je ispravno riješen. Pazite na ispravnost rješenja, u našem primjeru, odgovori ne smiju biti negativni.

Postoje i drugi problemi koji se mogu riješiti pomoću jednadžbe, na primjer, na pokretu. Razmotrimo ih detaljnije u sljedećim primjerima.

Dva automobila

U ovom dijelu ćemo razgovarati o zadacima kretanja. Da biste ih mogli riješiti, morate znati sljedeće pravilo:

S = V * T,

S - udaljenost, V - brzina, T - vrijeme.

Pokušajmo uzeti u obzir primjer.

Dva automobila istodobno su odstupala od točke A do točke B. Prva putovala svu udaljenost na istoj brzini, druga polovica puta krenula je brzinom od 24 km / h, a druga - 16 km / h. Potrebno je utvrditi brzinu prvog automobilista, ako su u točki B istodobno došli.

Što trebamo sastaviti jednadžbu: glavna varijabla V₁ (brzina prvog automobila), sekundarna: S - put, T₁ - vrijeme na putu prvog automobila. jednadžba: S = V₁ * T_1.

Dalje: drugi automobil prve polovice puta (S / 2) putovao brzinom od V₂= 24 km / h. Dobivamo izraz: S / 2 = 24 * T_2.

Sljedeći dio putovanja putovao je brzinom V₃ = 16 km / h. Dobivamo S / 2= 16 * T₃.

Nadalje, iz stanja može se vidjeti da su automobili stigli istodobno, dakle T₁ = T₂ + T₃. Sada moramo izraziti varijable T₁, T₂,T₃ iz naših prethodnih uvjeta. Dobivamo jednadžbu: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S se uzima kao jedinstvo i riješavamo jednadžbu:

1 / V₁ = 1/48 + 1 / 32-

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96 / 5-

V₁ = 19,2 km / h.

Ovo je odgovor. Problemi riješeni pomoću jednadžbe složeni su samo na prvi pogled. Pored gore navedenih prijedloga, radni zadaci mogu se susresti, što je to, razmotriti u sljedećem odjeljku.

Posao izazov

Da biste riješili ovu vrstu zadatka, morate znati sljedeću formulu:

A = VT,

gdje je A posao, V je produktivnost.

Za detaljniji opis morate dati primjer. Predmet „Rješavanje problema jednadžbu” (ocjena 6) ne može sadržavati takve probleme, jer je teže razine, ali ipak dati primjer za referencu.

Pažljivo pročitajte stanje: dva radnika rade zajedno i planiraju nastupiti dvanaest dana. Potrebno je utvrditi koliko vremena je potrebno da prvi zaposlenik ispuni istu normu. Poznato je da posao obavlja dva dana kao drugi zaposlenik tri dana.

Rješavanje problema za sastavljanje jednadžbi zahtijeva pažljivo čitanje stanja. Prva stvar koju smo shvatili iz zadatka, da rad nije definiran, znači, uzmemo ga kao jedinicu, to jest A = 1. Ako se problem odnosi na određeni broj dijelova ili litara, onda bi trebao biti preuzet iz tih podataka.

Označavaju produktivnost prvog i drugog radnika kroz V₁ i V₂ prema tome, u ovoj fazi moguće je sljedeće jednadžbe:

1 = 12 (V₁ + V₂).

Što nam ova jednadžba govori? Da je cijeli posao dvoje ljudi u dvanaest sati.

Dalje možemo navesti: 2V₁ = 3V₂. Budući da prvi za dva dana čini jednako kao i drugi u tri. Dobivamo sustav jednadžbi:

1= 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

Na temelju rješenja sustava dobili smo jednadžbu s jednom varijablom:

1 - 8V₁ = 12V_1-

V₁ = 1/20 = 0,05.

To je produktivnost rada prvog radnika. Sada možemo pronaći vrijeme za koje će se prva osoba nositi sa svim poslom:

A = V₁ * T_1-

1 = 0,05 * T₁-

T₁ = 20.

Budući da je dan uzet kao jedinica vremena, odgovor je: 20 dana.

Reformuliranje problema

Ako ste dobro savladali vještine za rješavanje problema u pokretu, a uz ciljevi posla imate neke poteškoće, moguće je raditi da se promet. Kako? Ako uzmemo zadnji primjer, tada je stanje sljedeće: Oleg i Dima kreću jedni prema drugima, susreću se za 12 sati. Za koliko način da se prevlada samo Oleg, ako znate da je to dva sata prolazi u dužini jednak način Dima tri sata.